《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

知识点1 直线与圆锥曲线的位置关系
1. 从几何角度看，可分为三类：没有公共点，仅有一个公共点及有两个不同的公共点。
2. 从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入圆锥曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断直线与圆锥曲线的位置关系。设直线 $l$ 的方程为 $Ax + By + C = 0 (A, B$ 不全为 $0)$，圆锥曲线方程 $f(x, y) = 0$。
由 $\begin{cases} Ax + By + C = 0 \\ f(x, y) = 0 \end{cases}$，消元得 $ax^2 + bx + c = 0$，
(1) 若 $a = 0$，当圆锥曲线是双曲线时，直线 $l$ 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线 $l$ 与抛物线对称轴 平行(或重合)。
(2) 若 $a \neq 0$ 设 $\Delta = b^2 - 4ac$。
当 $\Delta$ ＞ $0$ 时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；
当 $\Delta$ = $0$ 时，直线和圆锥曲线相切于一点；
当 $\Delta$ ＜ $0$ 时，直线和圆锥曲线没有公共点。

答案：
(1)平行(或重合)
(2)$＞$ = $＜$

知识点2 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
1. 斜率为 $k (k$ 不为 $0)$ 的直线与圆锥曲线交于点 $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$，则所得弦长 $|P_1P_2| = $ $\sqrt{1 + k^{2}}\left|x_{1} - x_{2}\right|$ 或 $|P_1P_2| = $ $\sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}}}\left|y_{1} - y_{2}\right|$。
2. 当斜率 $k$ 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(用两点间的距离公式)。
3. 焦点弦：过圆锥曲线焦点的弦叫作焦点弦。
4. 通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。

答案： 1.$\sqrt{1 + k^{2}}\left|x_{1} - x_{2}\right|$ $\sqrt{1 + \frac{1}{k^{2}}}\left|y_{1} - y_{2}\right|$

例 1. 已知椭圆的中心在坐标原点 $O$，焦点在坐标轴上，直线 $y = x + 1$ 与椭圆交于 $P, Q$ 两点，且 $OP \perp OQ, |PQ| = \frac{\sqrt{10}}{2}$，求椭圆的方程。

答案： 设椭圆方程为$mx^{2} + ny^{2} = 1(m ＞ 0,n ＞ 0,m \neq n)$，$P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})$.
由$\begin{cases}y = x + 1,\\mx^{2} + ny^{2} = 1,\end{cases}$得$(m + n)x^{2} + 2nx + n - 1 = 0$，
$\Delta = 4n^{2} - 4(m + n)(n - 1) ＞ 0$，即$m + n - mn ＞ 0$.
由$OP \perp OQ$，得$x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} = 0$，
即$2x_{1}x_{2} + (x_{1} + x_{2}) + 1 = 0$，
$\frac{2(n - 1)}{m + n} + \frac{2n}{m + n} + 1 = 0$，$\therefore m + n = 2$. ①
又$\vert PQ\vert^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2} = 2[(x_{1} + x_{2})^{2} - 4x_{1}x_{2}]=\frac{8(m + n - mn)}{(m + n)^{2}} = (\frac{\sqrt{10}}{2})^{2}$
将$m + n = 2$代入得$mn = \frac{3}{4}$. ②
由①②式，得$\begin{cases}m = \frac{1}{2},\\n = \frac{3}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}m = \frac{3}{2},\\n = \frac{1}{2}\end{cases}$.
故椭圆方程为$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2}y^{2} = 1$或$\frac{3}{2}x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$.