《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

知识点 空间向量基本定理
空间向量基本定理：如果向量 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} $ 是空间三个不共面的向量，$ \boldsymbol{p} $ 是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组 $ (x,y,z) $，使得$p = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c}$。
由上述定理可知，如果向量 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} $ 是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是 $ \{ \boldsymbol{p} | \boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c},x,y,z \in \mathbf{R} \} $，这个集合可以看成是由向量 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} $ 生成的，这时 $ \{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} \} $ 叫作空间的一组基，其中 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} $ 都叫作基向量。

答案： $p = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c}$

例 1. (1) 设 $ x = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} $，$ y = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} $，$ z = \boldsymbol{c} + \boldsymbol{a} $，且 $ \{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} \} $ 是空间的一组基，给出下列向量组：① $ \{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},x \} $，② $ \{ x,y,z \} $，③ $ \{ \boldsymbol{b},\boldsymbol{c},z \} $，④ $ \{ x,y,\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} \} $。其中可以作为空间一组基的向量组有(C)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案：

(1)C 如图所示,令 $\boldsymbol{a} = \overrightarrow{AB},\boldsymbol{b} = \overrightarrow{AA_{1}},\boldsymbol{c} = \overrightarrow{AD}$,则 $x = \overrightarrow{AB_{1}}$,$y = \overrightarrow{AD_{1}}$,$z = \overrightarrow{AC},\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} = \overrightarrow{AC_{1}}$.
由于$A,B_{1},C,D_{1}$四点不共面,可知向量$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}$也不共面,同理$\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{z}$和$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$也不共面,故选C.

(2) 已知 $ \{ \boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3 \} $ 是空间的一组基，且 $ \overrightarrow{OA} = \boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2 - \boldsymbol{e}_3 $，$ \overrightarrow{OB} = -3\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2 + 2\boldsymbol{e}_3 $，$ \overrightarrow{OC} = \boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2 - \boldsymbol{e}_3 $，试判断 $ \{ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC} \} $ 能否作为空间的一组基。

答案：
(2)设$\overrightarrow{OA} = x\overrightarrow{OB} + y\overrightarrow{OC}$,则$\boldsymbol{e}_{1} + 2\boldsymbol{e}_{2} - \boldsymbol{e}_{3} = x( - 3\boldsymbol{e}_{1} + \boldsymbol{e}_{2} + 2\boldsymbol{e}_{3}) + y(\boldsymbol{e}_{1} + \boldsymbol{e}_{2} - \boldsymbol{e}_{3})$,
即$\boldsymbol{e}_{1} + 2\boldsymbol{e}_{2} - \boldsymbol{e}_{3} = (y - 3x)\boldsymbol{e}_{1} + (x + y)\boldsymbol{e}_{2} + (2x - y)\boldsymbol{e}_{3}$,
$\therefore \begin{cases} y - 3x = 1,\\x + y = 2,\\2x - y = - 1.\end{cases}$此方程组无解. 即不存在实数$x,y$,使得$\overrightarrow{OA} = x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$,
所以$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$不共面.
所以$\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}$能作为空间的一组基