《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

知识点2 贝叶斯公式
1.贝叶斯公式
设 $B_1,B_2,·s,B_n$ 为样本空间 $\Omega$ 的一个划分,若 $P(A)＞0,P(B_i)＞0(i=1,2,·s,n)$,则
$P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}$
称上式为贝叶斯(Bayes)公式.
该公式于1763年由贝叶斯给出,它是在观察到事件 $A$ 已发生的条件下,寻找导致 $A$ 发生的每个原因的概率,贝叶斯公式的思想就是“执果溯因”.
2.公式的直观理解
如果我们把 $B_i$ 看成是导致事件 $A$ 发生的各种可能“原因”,那么,全概率公式告诉我们,事件 $A$ 发生的概率恰好是事件 $A$ 在这些“原因”下发生的条件概率的平均,其中的权重分别为 $P(B_i)$.而已知“结果”找“原因”的问题则可以用Bayes公式来计算.且告诉我们“$B_i$ 导致 $A$”的可能性的大小恰与乘积 $P(B_i)P(A|B_i)$ 成比例.

答案： 知识点2 1.贝叶斯(Bayes)公式

例1.世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称,新型冠状病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是 $A$ 传 $B$, $B$ 传 $C$, $C$ 又传 $D$ 等,这就是“持续人传人”,而 $A,B,C$ 被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为 $0.95,0.9,0.85$,健康的小明参加了一次多人宴会,事后知道,参加宴会的人有5名第一代传播者,3名第二代传播者,2名第三代传播者.若小明参加宴会,仅和感染的10人中的一人接触,求小明被感染的概率0.915.
[分析] 根据题意,设事件 $A,B,C$ 分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触,事件 $D$ 表示小明被感染,则有 $P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)$,据此计算可得答案.

答案： 例1:0.915 设事件$A，B，C$分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则由题意得$P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(C)=0.2，P(D|A)=0.95，P(D|B)=0.9$，$P(D|C)=0.85$，
则$P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=0.95 × 0.5 + 0.9 × 0.3 + 0.85 × 0.2=0.915$。
$\therefore$小明被感染的概率为0.915。

某电子设备制备厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的,根据以往的记录有如下表所示的数据:

答案： 设事件$B_i$表示所取到的产品是由第$i$家元件制造厂提供的$(i=1,2,3)$，事件A表示取到的是一件次品.其中$B_1，B_2，B_3$两两互斥，A发生总是伴随着$B_1，B_2，B_3$之一发生，即$A=B_1A \cup B_2A \cup B_3A$，且$B_1A，B_2A，B_3A$两两互斥.运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得
$P(A)=P(B_1A)+P(B_2A)+P(B_3A)$
$=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)$
$=0.15 × 0.02 + 0.80 × 0.01 + 0.05 × 0.03$
$=0.0125$，
因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.0125。