《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

知识点 1 直线方程的一般式
1. 定义
在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于$x,y$的二元一次方程；任何关于$x,y$的二元一次方程都表示一条直线，方程$Ax + By + C = 0$（其中$A,B$不全为0）称为直线方程的一般式.
2. 直线方程的一般式与其他形式的互化

答案： 知识点1 1.二元一次方程 一条直线 $Ax + By + C = 0$（其中$A,B$不全为0）

知识点 2 直线方程的点法式
1. 法向量
与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量，直线的法向量和方向向量都反映了直线的方向. 若直线$l$经过点$P$，且一个法向量为$\boldsymbol{n}$，则直线$l$上不同于点$P$的任意一点$M$都满足$\boldsymbol{n} · \overrightarrow{PM} = 0$. 反之，满足$\boldsymbol{n} · \overrightarrow{PM} = 0$的任意一点$M$一定在直线$l$上.

2. 直线方程的点法式
在平面直角坐标系中，已知直线$l$经过点$P(x_{0},y_{0})$，且它的一个法向量为$\boldsymbol{n} = (A,B)$，直线$l$上的任意一点$M$的坐标为$(x,y)$，则方程$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$称为直线方程的点法式.

答案： 知识点2 1.垂直 $\boldsymbol{n} · \overrightarrow{PM} = 0$ 2.$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

例 1. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.
(1) 斜率是$\sqrt{3}$，且经过点$A(5,3)$；
(2) 斜率为$4$，在$y$轴上的截距为$-2$；
(3) 经过点$A(-1,5)$，$B(2,-1)$两点；
(4) 在$x$轴，$y$轴上的截距分别为$-3$，$-1$；
(5) 经过点$B(4,2)$，且平行于$x$轴.

答案： 例1：
(1)由点斜式，得直线方程为$y - 3 = \sqrt{3}(x - 5)$，即$\sqrt{3}x - y - 5\sqrt{3} + 3 = 0$。
(2)由斜截式，得直线方程为$y = 4x - 2$，
即$4x - y - 2 = 0$。
(3)由两点式，得直线方程为$\frac{y - 5}{-1 - 5} = \frac{x - (-1)}{2 - (-1)}$，
即$2x + y - 3 = 0$。
(4)由截距式，得直线方程为$\frac{x}{-3} + \frac{y}{-1} = 1$。
即$x + 3y + 3 = 0$。
(5)$y - 2 = 0$。