《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例 3. (1) 设直线$l$的方程为$(a - 1)x + y - 2 - a = 0(a \in \mathbf{R})$. 若直线$l$不过第三象限，则$a$的取值范围为$[1, +\infty)$.
(2) 设直线$l$的方程为$2x + (k - 3)y - 2k + 6 = 0(k \neq 3)$，根据下列条件分别确定$k$的值：
①直线$l$的斜率为$-1$；
②直线$l$在$x$轴，$y$轴上的截距之和等于$0$.

答案： 例3：
(1)$[1, +\infty)$ 把直线$l$化成斜截式，得$y = (1 - a)x + a + 2$，因为直线$l$不过第三象限，故该直线的斜率小于等于
零，且直线在$y$轴上的截距大于等于零.即$\begin{cases}1 - a \leq 0 \\a + 2 \geq 0\end{cases}$解得$a \geq1$.所以$a$的取值范围为$[1, +\infty)$.
(2)①因为直线$l$的斜率存在，所以直线$l$的方程可化为
$y = -\frac{2}{k - 3}x + 2$.
由题意得$-\frac{2}{k - 3} = -1$，解得$k = 5$.
②直线$l$的方程可化为$\frac{x}{k - 3} + \frac{y}{2} = 1$.
由题意得$k - 3 + 2 = 0$，解得$k = 1$.

直线$(2a^{2} - 7a + 3)x + (a^{2} - 9)y + 3a^{2} = 0$的倾斜角为$45^{\circ}$，则实数$a =$$-\frac{2}{3}$.

答案： 对点训练3：$-\frac{2}{3}$ 依题意可知$k = \tan 45° = 1$，
所以$\frac{2a^2 - 7a + 3}{a^2 - 9} = 1$，且$a^2 - 9 \neq 0$。
解得$a = -\frac{2}{3}$或$a = 3$（舍去）.

例 4. 求经过点$P(2,3)$，并且在两坐标轴上截距相等的直线$l$的方程的一般式.
[错解] 设直线方程为$\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$，
将$x = 2$，$y = 3$代入，得$\frac{2}{a} + \frac{3}{a} = 1$，解得$a = 5$.
故所求的直线方程为$x + y - 5 = 0$.
[辨析] 忘记截距为$0$的情况，而导致丢解.
[正解]

答案： 例4：
(1)当截距为0时，直线$l$过点$(0,0),(2,3)$，
所以直线$l$的斜率为$k = \frac{3 - 0}{2 - 0} = \frac{3}{2}$，
所以直线$l$的方程为$y = \frac{3}{2}x$，即$3x - 2y = 0$.
(2)当截距不为0时，可设直线$l$的方程为$\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$.
因为直线$l$过点$P(2,3)$，所以$\frac{2}{a} + \frac{3}{a} = 1$，得$a = 5$.
所以直线$l$的方程为$x + y - 5 = 0$.
综上可知，直线$l$的方程为$3x - 2y = 0$或$x + y - 5 = 0$.