《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

知识点 1 空间中的平行与垂直
设向量 $ \boldsymbol{l} $，$ \boldsymbol{m} $ 分别是直线 $ l $、$ m $ 的方向向量，$ \boldsymbol{n}_1 $、$ \boldsymbol{n}_2 $ 分别是平面 $ \alpha $，$ \beta $ 的法向量，则 $ l // m $ 或 $ l $ 与 $ m $ 重合 $ \Leftrightarrow $$l//m\Leftrightarrow l \bot n_1,n_1//n_2$ $l \bot m\Leftrightarrow l \bot n_1,n_1//n_2$或$l \bot n_2$；$ l // \alpha $ 或 $ l \subset \alpha \Leftrightarrow $；$ \alpha // \beta $ 或 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 重合 $ \Leftrightarrow $；$ l \perp m \Leftrightarrow $；$ l \perp \alpha \Leftrightarrow $；$ \alpha \perp \beta \Leftrightarrow $.

答案： 知识点1 $l//m\Leftrightarrow l \bot n_1,n_1//n_2$ $l \bot m\Leftrightarrow l \bot n_1,n_1//n_2$或$l \bot n_2$

知识点 2 三垂线定理及其逆定理
三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直.
类似地可以得到：
三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直.

答案： 知识点2 投影垂直 垂直 投影垂直

例 1 在长方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中，$ AB = 4 $，$ AD = 3 $，$ AA_1 = 2 $，$ P $，$ Q $，$ R $，$ S $ 分别是 $ AA_1 $，$ D_1C_1 $，$ AB $，$ CC_1 $ 的中点. 证明：$ PQ // RS $.

答案：
例1:证明:证法一:以$D$为坐标原点，$DA,DC,DD_1$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴，建立如图所示的空间直角坐标系。
则$P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1)$，
所以$\overrightarrow{PQ}=(-3,2,1),\overrightarrow{RS}=(-3,2,1)$，
所以$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{RS}$，即$\overrightarrow{PQ}//\overrightarrow{RS}$，又$R \notin PQ$，
故$PQ//RS$。

证法二:$\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{RB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CS}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DD_1}$，$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{A_1D_1}+\overrightarrow{D_1Q}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DD_1}-\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$，
所以$\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{PQ}$，即$\overrightarrow{RS}//\overrightarrow{PQ}$，又$R \notin PQ$，故$RS//PQ$。

如图，在四棱锥 $ P - ABCD $ 中，$ PD \perp $ 底面 $ ABCD $，底面 $ ABCD $ 为正方形，$ PD = DC $，$ E $，$ F $ 分别是 $ AB $，$ PB $ 的中点.
求证：$ EF \perp CD $.

答案：
对点训练1:证明:以$DA,DC,DP$所在的直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系(如图)，

设$AD=a$，则$D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,\frac{a}{2},0),P(0,0,a),F(\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{a}{2})$，
$\therefore \overrightarrow{EF}=(-\frac{a}{2},0,\frac{a}{2}),\overrightarrow{DC}=(0,a,0)$，
$\because \overrightarrow{EF} · \overrightarrow{DC}=(-\frac{a}{2},0,\frac{a}{2}) · (0,a,0)=0$，
$\therefore EF \bot DC$。