《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 直线$3x + 4y - 25 = 0$与圆$x^{2}+y^{2}=9$的位置关系为 (C)

A.相切
B.相交
C.相离
D.相离或相切

答案： 1.$C$

2. 对任意的实数$k$，直线$y = kx + 1$与圆$x^{2}+y^{2}=2$的位置关系一定是 (C)

A.相离
B.相切
C.相交但直线不过圆心
D.相交且直线过圆心

答案： 2.$C$ 直线$y = kx + 1$恒过定点$(0,1)$，由定点$(0,1)$在圆$x^{2} + y^{2} = 2$内，知直线$y = kx + 1$与圆$x^{2} + y^{2} = 2$一定相交。又直线$y = kx + 1$不过圆心$(0,0)$，则位置关系是相交但直线不过圆心，故选$C$。

3. 已知直线$x + y = 0$与圆$(x - 1)^{2}+(y - b)^{2}=2$相切，则$b =$ (D)

A.-3
B.1
C.$\frac{5}{2}$
D.-3或1

答案： 3.$D$ 由题得圆$(x - 1)^{2} + (y - b)^{2} = 2$的圆心坐标为$(1,b)$，半径为$\sqrt{2}$。根据题意，得$\frac{\vert 1 + b\vert}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{2}$，即$\vert 1 + b\vert = 2$，解得$b = 1$或$b = -3$。故选$D$。

4. 已知直线$l:mx + y - 3 = 0$与圆$(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=4$交于$A,B$两点，过$A,B$分别作$l$的垂线与$x$轴交于$C,D$两点，若$|AB| = 4$，则$|CD| =$ $4\sqrt{2}$.

答案： 4.$4\sqrt{2}$ 圆$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$，圆心$(1,2)$，半径$r = 2$，
$\because \vert AB\vert = 4$，$\therefore$直线$l$:$mx + y - 3 = 0$过圆心$(1,2)$，
$\therefore m + 2 - 3 = 0$，$\therefore m = 1$，
$\therefore$直线$l$:$x + y - 3 = 0$，倾斜角为$135^{\circ}$，
$\because$过$A$，$B$分别作$l$的垂线与$x$轴交于$C$，$D$两点，
$\therefore \vert CD\vert = \frac{\vert AB\vert}{\sin 45^{\circ}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2}$。

5. 已知圆$C:x^{2}+y^{2}-2x - 4y = 0$，若过点$P(4,-4)$的直线$l$被圆$C$截得的弦长为$\sqrt{2}$，求直线$l$的方程.

答案： 5.当直线$l$的斜率不存在时，直线方程为$x = 4$，直线$l$与圆相离，不合题意。当直线斜率存在时，设直线方程为$y + 4 = k(x - 4)$，即$kx - y - 4k - 4 = 0$。圆心$C(1,2)$到直线的距离$d = \frac{\vert k - 2 - 4k - 4\vert}{\sqrt{k^{2} + 1}} = \frac{\vert 6 + 3k\vert}{\sqrt{k^{2} + 1}}$，由$2\sqrt{5 - \frac{(6 + 3k)^{2}}{k^{2} + 1}} = \sqrt{2}$，解得$k = -1$或$k = -7$。因此过点$P(4, -4)$且被圆$C$截得的弦长为$\sqrt{2}$的直线$l$的方程为$y + 4 = -(x - 4)$或$y + 4 = -7(x - 4)$，即$x + y = 0$或$7x + y - 24 = 0$。

知识点1 圆与圆的位置关系及判定
1. 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.
2. 圆与圆位置关系的判定
(1) 几何法：若两圆的半径分别为$r_1$，$r_2$，两圆的圆心距为$d$，则两圆的位置关系的判断方法如下：


(2) 代数法
已知两圆$C_1:x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0(D_1^2 + E_1^2 - 4F_1 ＞ 0)$，$C_2:x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0(D_2^2 + E_2^2 - 4F_2 ＞ 0)$，将方程联立$\begin{cases}x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0, \\x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0,\end{cases}$消去$y$（或$x$）得到关于$x$（或$y$）的一元二次方程，
则①判别式$\Delta ＞ 0$时，$C_1$与$C_2$相交；
②判别式$\Delta = 0$时，$C_1$与$C_2$外切或内切；
③判别式$\Delta ＜ 0$时，$C_1$与$C_2$外离或内含.

答案： 1.外离 外切 相交 内切 内含 2.
(1)$d ＞ r_1 + r_2$ $d = r_1 + r_2$ $d = \vert r_1 - r_2\vert$
(2)相交 外切或内切 外离或内含