《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

已知点 $M(0,b)$ 与点 $N(-\sqrt{3},1)$ 连成直线的倾斜角为 $120°$, 则 $b =$ -2.

答案： 对点训练2:-2 由题意得$k = \frac{b - 1}{0 - (-\sqrt{3})} = \frac{b - 1}{\sqrt{3}} = \tan120^{\circ} = -\sqrt{3}$，$\therefore b = -2$.

例3. (1) 已知两点 $A(-3,4), B(3,2)$, 过点 $P(1,0)$ 的直线 l 与线段 AB 有公共点.
① 求直线 l 的斜率 k 的取值范围;
② 求直线 l 的倾斜角 $\alpha$ 的取值范围.

答案：
例3:
(1)如图所示，由题意可知$k_{PA} = \frac{4 - 0}{-3 - 1} = -1$，$k_{PB} = \frac{2 - 0}{3 - 1} = 1$.
①要使直线$l$与线段$AB$有公共点，则直线$l$的斜率$k$的取值范围是$k \leq -1$或$k \geq 1$.
②由题意可知，直线$l$的倾斜角介于直线$PB$与$PA$的倾斜角之间，又$PB$的倾斜角是$45^{\circ}$，$PA$的倾斜角是$135^{\circ}$，所以$\alpha$的取值范围是$45^{\circ} \leq \alpha \leq 135^{\circ}$.

(2) 若三点 $A(2,-3), B(4,3), C(5,k)$ 在同一条直线上, 则实数 $k =$ 6.

答案： 例3:
(2)6 解法一:因为$A(2, -3)$，$B(4,3)$，$C(5,k)$在同一条直线上，所以$k_{AB} = k_{AC}$，$k_{AB} = \frac{3 - (-3)}{4 - 2} = 3$，$k_{AC} = \frac{k - (-3)}{5 - 2} = \frac{k + 3}{3}$，所以$\frac{k + 3}{3} = 3$，即$k = 6$.
解法二:因为$\overrightarrow{AB} = (4,3) - (2, -3) = (2,6)$，$\overrightarrow{AC} = (5,k) - (2, -3) = (3,k + 3)$，又因为$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$共线，所以$2(k + 3) = 18$，解得$k = 6$.

(1) 若三点 $A(3,1), B(-2,b), C(8,11)$ 在同一直线上, 则实数 b 等于 (D)

A.2
B.3
C.9
D.$-9$

答案： 对点训练3:
(1)D 解法一:由题意得$k_{AB} = k_{BC}$，又$k_{AB} = \frac{b - 1}{-2 - 3} = \frac{1 - b}{5}$，$k_{BC} = \frac{11 - b}{8 - (-2)} = \frac{11 - b}{10}$，$\therefore \frac{1 - b}{5} = \frac{11 - b}{10}$，$\therefore b = -9$.
解法二:$\overrightarrow{AB} = (-5,b - 1)$，$\overrightarrow{AC} = (5,10)$，$\because \overrightarrow{AB} // \overrightarrow{AC}$，$\therefore -5 × 10 = 5(b - 1)$，$\therefore b = -9$.

(2) 已知 $A(3,3), B(-4,2), C(0,-2)$. 若点 D 在线段 BC 上(包括端点)移动, 则直线 AD 的斜率的变化范围是$[\frac{1}{7},\frac{5}{3}]$.

答案：
对点训练3:
(2)$[\frac{1}{7},\frac{5}{3}]$ 如图所示，当点$D$由$B$运动到$C$时，直线$AD$的斜率由$k_{AB}$增大到$k_{AC}$，又$k_{AB} = \frac{3 - 2}{3 - (-4)} = \frac{1}{7}$，$k_{AC} = \frac{3 - 0}{3 - 0} = \frac{5}{3}$，所以直线$AD$的斜率的变化范围是$[\frac{1}{7},\frac{5}{3}]$.

例4. 已知直线 l 通过点 $A(1,2), B(4,5)$, 求直线 l 的一个方向向量, 并确定直线 l 的斜率与倾斜角.

答案： 例4:$\overrightarrow{AB} = (4 - 1,5 - 2) = (3,3)$是直线$l$的一个方向向量，因此直线$l$的斜率$k = 1$，直线$l$的倾斜角$\theta$满足$\tan \theta = 1$，从而可知$\theta = 45^{\circ}$.