《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例3. 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？
[分析] 该问题显然可看作一个组合问题，但应注意有4个点共线这一限制条件.

答案： 例3: 我们把从共线的4个点取点的多少作为分类的标准.
第1类:共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有$ C_{4}^{2} · C_{5}^{1}=48$个不同的三角形;
第2类:共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有$ C_{4}^{1} · C_{5}^{2}=112$个不同的三角形;
第3类:共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有$ C_{5}^{3}=56$个不同的三角形.
由分类加法计数原理,不同的三角形共有$48 + 112 + 56 = 216$(个).

(1)四面体的一个顶点为$A$，从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点$A$在同一平面上，不同的取法有

A.30种
B.33种
C.36种
D.39种

答案：

(1)B 如图,含顶点A的四面体的3个面上,除点A外都有5个点,从中取出3点必与点A共面,共有$3 C_{5}^{3}$种取法;含顶点A的三条棱上各有3个点,它们与对棱的中点共面,此时共有3种取法.
故与顶点A共面的3个点的取法共有$3 C_{5}^{3} + 3 = 33$(种).

(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有

A.150种
B.147种
C.144种
D.141种

答案：
(2)D 从10个点中取出4个点的取法有$ C_{10}^{4}$种,除去四点共面的取法种数可以得到结果.
①从四面体同一个面上的6个点取4个点必定共面,有$4 C_{6}^{4}=60$(种);
②四面体的每一条棱上的3个点与对棱的中点共面,共有6种共面情况;
③从6条棱的中点中取4个点时,有3种共面情况.
故4点不共面的取法有$ C_{10}^{4}-(60 + 6 + 3)=141$(种).

例4. 9本不同的书，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人3本；
(2)分为三组，每组3本；
(3)分为三组，一组2本，一组3本，一组4本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人2本，一人3本，一人4本；
(5)分为三组，一组5本，另外两组每组2本；
(6)分给甲、乙、丙三人，其中甲2本，乙3本，丙4本；
(7)分给甲、乙、丙三人，其中甲4本，另外两人中有一人2本，一人3本；
(8)分给甲、乙、丙三人，其中甲得5本，另外两人每人得2本；
(9)分给甲、乙、丙三人，其中一人得5本，另外两人每人得2本.

答案： 例4:
(1)这是均匀编号分组问题.
第一步:从9本书中选3本给甲,有$ C_{9}^{3}$种选法.
第二步:再从其余的6本书中选3本给乙,有$ C_{6}^{3}$种选法.
第三步:从余下的3本书中选3本给丙,有$ C_{3}^{3}$种选法.
根据分步乘法计数原理得,不同的分配方法共有$ C_{9}^{3} C_{6}^{3} C_{3}^{3}=1680$(种).
(2)这是均匀不编号分组问题.
先将9本书平均放入1号箱,2号箱,3号箱.
先放1号箱,有$ C_{9}^{3}$种放法;
再放2号箱,有$ C_{6}^{3}$种放法;
最后把剩下的3本放入3号箱,有$ C_{3}^{3}$种放法.
因此共有$ C_{9}^{3} C_{6}^{3} C_{3}^{3}$种放法.
由于这3个箱子现在是有序的,而装的书本数是一样的,因此会出现重复的分法,应用缩倍法,重复的是3个箱子的排列顺序,应除以箱子的全排列数,即$ C_{9}^{3} C_{6}^{3} C_{3}^{3} ÷ A_{3}^{3}=280$.
故共有280种不同的分配方法.
(3)这是非均匀不编号分组问题.
同
(2)中思路,第一步共$ C_{9}^{3} C_{6}^{2} C_{2}^{2}$种放法.
由于这次不是平均分配,每个箱子里装的书都不同,因此不会出现重复的分法,因此共有1260种不同的分配方法.
(4)这是非均匀编号分组问题.
在
(3)的基础上再进行全排列,所以不同的分配方法共有$ C_{9}^{3} C_{6}^{2} C_{2}^{2} · A_{3}^{3}=7560$(种).
(5)这是部分均匀编号分组问题.
同
(2)中思路,第一步共$ C_{9}^{3} C_{6}^{2} C_{2}^{2}$种放法.
这次同样不是平均分配,但恰有2个箱子装的书本数一样,因此是“局部平均”,也会出现重复的分法,重复的是同样装着2本书的2个箱子的排列顺序,因此应除以这2个箱子的全排列数,即$ C_{9}^{3} C_{6}^{2} C_{2}^{2} ÷ A_{2}^{2}=378$.
故共有378种不同的分配方法.
(6)这是直接分配问题.
由于甲的书本数已知,先给甲选书,有$ C_{9}^{3}$种选法,再给乙选书,有$ C_{6}^{3}$种选法,剩下的4本给丙.
故不同的分配方法共有$ C_{9}^{3} C_{6}^{3}=1260$(种).
(7)这是直接分配问题.
由于甲的书本数已知,先给甲选书,有$ C_{9}^{4}$种选法.
再把剩下的5本书分成本数分别为2,3的两份,有$ C_{5}^{2} C_{3}^{3}$种分法,把分好后的两份书分给乙、丙两个人,有$ A_{2}^{2}$种分法.
根据分步乘法计数原理,可得不同的分配方法共有$ C_{9}^{4} C_{5}^{2} C_{3}^{3} A_{2}^{2}=2520$(种).
(8)这是直接分配问题.
由于甲的书本数已知,先给甲选书,有$ C_{9}^{5}$种选法.
再把剩下的4本书平均分给乙、丙,有$ C_{4}^{2} C_{2}^{2}$种方法,故不同的分配方法共有$ C_{9}^{5} C_{4}^{2} C_{2}^{2}=756$(种).
(9)这是部分均匀编号分组问题.
在
(5)的基础上再分配给甲、乙、丙三人,不同的分配方法共有$\frac{ C_{9}^{3} C_{6}^{2} C_{2}^{2}}{ A_{2}^{2}} · A_{3}^{3}=2268$(种).