《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

已知$\triangle ABC$三个顶点的坐标为$A(1,3),B(-1,-1),C(-3,5)$，则这个三角形外接圆的一般方程为$x^{2}+y^{2}+4x - 4y - 2=0$.

答案： 对点训练2:$x^{2}+y^{2}+4x - 4y - 2=0$ 设所求圆的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F=0(D^{2}+E^{2}-4F＞0)$。
因为此圆过$A,B,C$三点，
所以$\begin{cases}1^{2}+3^{2}+D+3E+F=0\\(-1)^{2}+(-1)^{2}-D - E+F=0\\(-3)^{2}+5^{2}-3D + 5E+F=0\end{cases}$，
$\begin{cases}D=4\\E=-4\\F=-2\end{cases}$解得$\therefore$该圆的一般方程为$x^{2}+y^{2}+4x - 4y - 2=0$。

例3. 已知点$A(2,0)$是圆$x^{2}+y^{2}=4$上的定点，点$B(1,1)$是圆内一点，$P,Q$为圆上的动点.
(1) 求线段$AP$的中点$M$的轨迹方程；
(2) 若$\angle PBQ = 90^{\circ}$，求线段$PQ$的中点$N$的轨迹方程.

答案： ![img alt=例3题图] 例3:
(1)设线段AP的中点为$M(x,y)$，
由中点公式，得点P的坐标为$(2x - 2,2y)$。
$\because$点P在圆$x^{2}+y^{2}=4$上，
$\therefore(2x - 2)^{2}+(2y)^{2}=4$，整理得$(x - 1)^{2}+y^{2}=1$。
故线段AP的中点M的轨迹方程为$(x - 1)^{2}+y^{2}=1$。
(2)设线段PQ的中点为$N(x,y)$，
在$Rt\triangle PBQ$中，$|PN|=|BN|$。
设O为坐标原点，连接$ON$，
$\because|OP|=|OQ|,N$为PQ的中点，$\therefore ON\perp PQ$，
$\therefore|OP|^{2}=|ON|^{2}+|PN|^{2}=|ON|^{2}+|BN|^{2}$，
$\therefore x^{2}+y^{2}+(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=4$，故线段PQ的中点$N$的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}-x - y - 1=0$。

已知线段$AB$的中点$C$的坐标是$(4,3)$，端点$A$在圆$x^{2}+y^{2}+2x - 3 = 0$上运动，求线段$AB$的端点$B$的轨迹方程.

答案： 设点B的坐标是$(x,y)$，点A的坐标是$(x_{0},y_{0})$，
由于点C的坐标是$(4,3)$且点C是线段AB的中点，
因为点A在圆$x^{2}+y^{2}+2x - 3=0$上运动，所以点A的坐标满足方程$x^{2}+y^{2}+2x - 3=0$，即$(x + 1)^{2}+y^{2}=4$，把$x_{0}=8 - x$，$y_{0}=6 - y$代入上式，得$(8 - x + 1)^{2}+(6 - y)^{2}=4$，
整理，得$(x - 9)^{2}+(y - 6)^{2}=4$。
所以点B的轨迹方程为$(x - 9)^{2}+(y - 6)^{2}=4$。

例4. 若点$(1,2)$在圆$x^{2}+y^{2}-ax - 2y + 2 = 0$外，则实数$a$的取值范围是$(-\infty,-2)\cup(2,3)$.
[错解] $\because$点$(1,2)$在圆$x^{2}+y^{2}-ax - 2y + 2 = 0$外，
$\therefore 1^{2}+2^{2}-a - 2×2 + 2＞0$得$a＜3$.
[辨析] 忽略圆的一般方程中的隐含条件$(-a)^{2}+(-2)^{2}-4×2＞0$.
[正解]

答案： 例4:$(-\infty,-2)\cup(2,3)$ 若$x^{2}+y^{2}-ax - 2y + 2=0$表示圆，
则$(-a)^{2}+(-2)^{2}-4×2＞0$，解得$a＜-2$或$a＞2$。
若点$(1,2)$在圆$x^{2}+y^{2}-ax - 2y + 2=0$外，
则$1^{2}+2^{2}-a - 2×2 + 2＞0$，解得$a＜3$，
所以实数$a$的取值范围为$(-\infty,-2)\cup(2,3)$。