《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

若直线$l$过点$P(2,3)$，且与圆$C:(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=1$相切，求直线$l$的方程.
[分析] 先确定点$P$在圆$C$外，再对切线$l$的斜率是否存在进行分类讨论，利用待定系数法求直线方程.

答案： 解法一：由题意，得点$P$在圆$C$外。
若直线$l$的斜率存在，设$l$:$y - 3 = k(x - 2)$，即$kx - y + 3 - 2k = 0$。
$\because$直线$l$与圆$C$:$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 1$相切，
$\therefore \frac{\vert 5 - k\vert}{\sqrt{k^{2} + 1}} = 1$。解得$k = \frac{12}{5}$。
$\therefore$直线$l$的方程为$y - 3 = \frac{12}{5}(x - 2)$，即$12x - 5y - 9 = 0$。
若直线$l$的斜率不存在，则直线$l$:$x = 2$也符合要求。
综上，直线$l$的方程为$12x - 5y - 9 = 0$或$x = 2$。
解法二：若直线$l$的斜率存在，设$l$:$y - 3 = k(x - 2)$，即$y = k(x - 2) + 3$。代入圆$C$的方程，整理，得$(k^{2} + 1)x^{2} - (4k^{2} - 10k + 2)x + 4k^{2} - 20k + 25 = 0$。
$\because$直线$l$与圆$C$相切，$\therefore \Delta = (4k^{2} - 10k + 2)^{2} - 4(k^{2} + 1) · (4k^{2} - 20k + 25) = 0$，解得$k = \frac{12}{5}$
$\therefore$直线$l$的方程为$y - 3 = \frac{12}{5}(x - 2)$，即$12x - 5y - 9 = 0$。
若直线$l$的斜率不存在，则直线$l$:$x = 2$也符合要求。
综上，直线$l$的方程为$12x - 5y - 9 = 0$或$x = 2$。

例3. 已知实数$x,y$满足$y = \sqrt{3 - x^{2}}$，求$m=\frac{y + 1}{x + 3}$及$b = 2x + y$的取值范围.

答案：
$y = \sqrt{3 - x^{2}}$表示以原点为圆心，半径为$\sqrt{3}$的上半圆，$m = \frac{y + 1}{x + 3}$表示过点$A(-3, -1)$和$(x,y)$的直线的斜率，如图1所示

可知$k_{AB} \leq m \leq k_{AC}$。$B$点坐标为$(\sqrt{3},0)$，
所以$k_{AB} = \frac{0 - (-1)}{\sqrt{3} - (-3)} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$。由图1可知，$AC$斜率存在，
设直线$AC$的方程为$y + 1 = k_{AC}(x + 3)$，即$k_{AC}x - y + 3k_{AC} - 1 = 0$，
因为$AC$与半圆$x^{2} + y^{2} = 3(y \geq 0)$相切，
所以$\frac{\vert 3k_{AC} - 1\vert}{\sqrt{1 + k_{AC}^{2}}} = \sqrt{3}$，所以$k_{AC} = \frac{3 + \sqrt{21}}{6}$
所以$m$的取值范围是$[\frac{3 - \sqrt{3}}{6}, \frac{3 + \sqrt{21}}{6}]$
由$b = 2x + y$，知$b$表示直线$2x + y - b = 0$在$y$轴上的截距，如图2所示

可知直线$b = 2x + y$一定位于两直线$l_1$与$l_2$之间。由直线$l_2$与半圆相切，得$b = \sqrt{15}$，由直线$l_1$过$D(-\sqrt{3},0)$，得$b = -2\sqrt{3}$；故$b$的取值范围是$[-2\sqrt{3}, \sqrt{15}]$。

直线$y = x - 1$上的点与圆$x^{2}+y^{2}+4x - 2y + 4 = 0$上的点的距离的最小值为 (C)

A.$2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$2\sqrt{2}-1$
D.1

答案： $C$ 圆$x^{2} + y^{2} + 4x - 2y + 4 = 0$的圆心为$(-2,1)$，半径为$1$，圆心到直线$y = x - 1$的距离为$d = \frac{\vert -2 - 1 - 1\vert}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$，所以直线$y = x - 1$上的点与圆$x^{2} + y^{2} + 4x - 2y + 4 = 0$上的点的距离的最小值为$2\sqrt{2} - 1$。

例4. 已知直线$l$经过点$P(-4,-3)$，且被圆$(x + 1)^{2}+(y + 2)^{2}=25$截得的弦长为8，则直线$l$的方程为 $x = -4$或$4x + 3y + 25 = 0$.
[错解] 圆心坐标为$(-1,-2)$，半径为5，弦长为8，设弦心距为$d$，$\therefore d = 3$，
设直线$l$斜率为$k$，则直线$l$的方程为$y + 3 = k(x + 4)$，即$kx - y + 4k - 3 = 0$，
$\therefore d=\frac{|-k + 2 + 4k - 3|}{\sqrt{1 + k^{2}}}=3$，得$k = -\frac{4}{3}$，
$\therefore l$的方程为$4x + 3y + 25 = 0$.
[辨析] 误认为直线斜率一定存在，直接设为$k$.
[正解]

答案： $x = -4$或$4x + 3y + 25 = 0$ 圆心坐标为$(-1, -2)$，半径为$5$，弦长为$8$。
设弦心距为$d$，解得$d = 3$。
当直线斜率不存在时，直线$l$的方程为$x = -4$，圆心到直线的距离是$3$，满足题意。
当直线斜率存在时，设直线$l$的方程为$y + 3 = k(x + 4)$，即$kx - y + 4k - 3 = 0$，
则$d = \frac{\vert -k + 2 + 4k - 3\vert}{\sqrt{k^{2} + 1}} = 3$，解得$k = - \frac{4}{3}$，
即$l$的方程为$4x + 3y + 25 = 0$。
$\therefore$直线$l$的方程为$x = -4$或$4x + 3y + 25 = 0$。