《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

判断下列各个量, 哪些是随机变量, 哪些不是随机变量, 并说明理由.
(1) 标准大气压下, 水沸腾的温度;
(2) 王老师在某天内接电话的次数;
(3) 在一次绘画作品评比中, 设一、二、三等奖, 你的一件作品获得的奖次;
(4) 体积为 $64 \mathrm{~cm}^{3}$ 的正方体的棱长.

答案： 对点训练3:
(1)在标准大气压下，水沸腾的温度是$100 ^{\circ}C$，是常量，故不是随机变量.
(2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随机变量.
(3)作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因此是随机变量.
(4)体积是$64 cm^{3}$的正方体的棱长是$4 cm$，因此不是随机定量.

例4. 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个, 从袋中任取3个小球, 按3个小球上最大数字的9倍计分, 每个小球被取出的可能性都相等, 用 $X$ 表示取出的3个小球上的最大数字, 求:
(1) 取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(2) 随机变量 $X$ 的分布列;
(3) 计算介于20分到40分之间的概率.
[分析] (1) 借助古典概型的概率公式求解; (2) 列出 $X$ 的所有可能取值, 并求出相应的概率, 列出分布列; (3) 根据分布列转化为求概率之和.

答案： 例4:
(1)解法一:记“一次取出的$3$个小球上的数字互不相同”的事件记为$A$，则$P(A)=\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{1}C_{1}^{1}}{C_{10}^{3}} = \frac{2}{3}$.
解法二:记“一次取出的$3$个小球上的数字互不相同”为事件$A$，“一次取出的$3$个小球上的数字中有两个数字相同”为事件$B$，事件$A$和事件$B$是对立事件.
因为$P(B)=\frac{C_{2}^{1}C_{8}^{1}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{3}$，
所以$P(A)=1 - P(B)=1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
(2)由题意，$X$所有可能的取值为$2,3,4,5$.
$P(X = 2)=\frac{C_{2}^{2}C_{1}^{1} + C_{1}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} = \frac{1}{30}$;
$P(X = 3)=\frac{C_{2}^{2}C_{1}^{1} + C_{4}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} = \frac{2}{15}$;
$P(X = 4)=\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{2} + C_{8}^{1}C_{1}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}} = \frac{3}{10}$;
$P(X = 5)=\frac{C_{2}^{2}C_{2}^{2} + C_{8}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{3}} = \frac{8}{15}$.
所以随机变量$X$的概率分布列为
$X$ $2$ $3$ $4$ $5$
$P$ $\frac{1}{30}$ $\frac{2}{15}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{8}{15}$
(3)记“一次取球得分介于$20$分到$40$分之间”为事件$C$，则
$P(C)=P(X = 3$或$X = 4)=P(X = 3)+P(X = 4)=\frac{2}{15} + \frac{3}{10} = \frac{13}{30}$.