《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 若直线$ax + 2y + 2 = 0$与直线$3x - y - 2 = 0$垂直，那么实数$a$等于 (D)

A.$-3$
B.$-6$
C.$-\frac{3}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 1.D 由题意得$3a-2=0$，$\therefore a=\frac{2}{3}$

2. 直线$l: x - y + 1 = 0$关于$y$轴对称的直线方程为 (A)

A.$x + y - 1 = 0$
B.$x - y + 1 = 0$
C.$x + y + 1 = 0$
D.$x - y - 1 = 0$

答案： 2.A 直线$x-y+1=0$关于$y$轴对称的直线方程为$-x-y+1=0$，即$x+y-1=0$.

3. 直线$x + 2y - 4 = 0$与直线$2x - y + 2 = 0$的交点坐标是 (C)

A.$(2, 0)$
B.$(2, 1)$
C.$(0, 2)$
D.$(1, 2)$

答案： 3.C 解方程组$\begin{cases}x+2y-4=0,\\2x-y+2=0,\end{cases}$得$\begin{cases}x=0,\\y=2,\end{cases}$
即直线$x+2y-4=0$与直线$2x-y+2=0$的交点坐标是$(0,2)$.故选C.

4. 过点$(-1, -3)$且与直线$2x + y - 1 = 0$平行的直线方程为$2x+y+5=0$.

答案： 4.$2x+y+5=0$ 设所求直线方程为$2x+y+m=0$，又
∵直线过
点$(-1,-3)$，
$\therefore-2-3+m=0$，$\therefore m=5$，
故所求直线方程为$2x+y+5=0$.

5. $a$为何值时，直线$ax + (1 - a)y + 3 = 0$与$(a - 1)x + (2a + 3)y - 2 = 0$相交？平行？

答案： 5.因为$A_1B_2-A_2B_1=a(2a+3)-(a-1)(1-a)=3a^2+a+1=3(a+\frac{1}{6})^2+\frac{11}{12}\neq0$.所以两直线对任意$a\in R$恒相交，不可能
平行.

知识点1 两点间的距离公式
1. 平面上的两点 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$ 间的距离公式 $|AB| = $ $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
2. 两点间距离的特殊情况
(1) 原点 $O(0,0)$ 与任一点 $A(x,y)$ 的距离 $|OA| = $ $\sqrt{x^2+y^2}$.
(2) 当 $AB//x$ 轴 $(y_1=y_2)$ 时, $|AB| = $ $|x_2-x_1|$.
(3) 当 $AB//y$ 轴 $(x_1=x_2)$ 时, $|AB| = $ $|y_2-y_1|$.

答案： 1.$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 2.
(1)$\sqrt{x^2+y^2}$
(2)$|x_2-x_1|$
(3)$|y_2-y_1|$

知识点2 点到直线的距离公式
1. 平面内点到直线的距离, 等于过这个点作直线的 垂线 所得 垂线段 的长度.
2. 点 $P(x_0,y_0)$ 到直线 $l:Ax+By+C=0$ 的距离 $d = $ $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ (其中 $A,B$ 不全为0).

答案： 1.垂线 垂线段 2.$\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

知识点3 两条平行直线间的距离公式
1. 概念: 夹在两条平行直线间的 公垂线段 的长度就是两条平行直线间的距离.
2. 求法: 两条平行直线间的距离转化为 点 到 直线 的距离.
3. 公式: 两条平行直线 $l_1:Ax+By+C_1=0$ 与 $l_2:Ax+By+C_2=0$ 之间的距离 $d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ (其中 $A,B$ 不全为0, 且 $C_1 \ne C_2$).

答案： 1.公垂线段 2.点 直线