《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例2 (1)$l_1$经过点$A(3,2), B(3, -1)$, $l_2$经过点$M(1,1), N(2,1)$，判断$l_1$与$l_2$是否垂直;
(2)已知直线$l_1$经过点$A(3,a), B(a - 2,3)$, 直线$l_2$经过点$C(2,3), D(-1,a - 2)$, 若$l_1 \perp l_2$，求$a$的值;
(3)已知直线$l_1: ax + (1 - a)y = 3$与$l_2: (a - 1)x + (2a + 3)y = 2$垂直，求$a$的值.

答案： 例2:
(1)直线$l_1$的斜率不存在，直线$l_2$的斜率为0，所以$l_1\perp l_2$.
(2)由题意，知直线$l_2$的斜率$k_2$一定存在，直线$l_1$的斜率$k_1$可能不存在.当直线$l_1$的斜率不存在时，$3=a-2$，即$a=5$，此时$k_2=0$，则$l_1\perp l_2$，满足题意.当直线$l_1$的斜率$k_1$存在时，$a\neq5$，
由斜率公式，得$k_1=\frac{3-a}{a-2-3}=\frac{3-a}{a-5}$，$k_2=\frac{a-2-3}{-1-2}=\frac{a-5}{-3}$；
由$l_1\perp l_2$，知$k_1k_2=-1$，即$\frac{3-a}{a-5}×\frac{a-5}{-3}=-1$，解得$a=0$，
综上所述，$a$的值为0或5.
(3)
∵$l_1\perp l_2$，$\therefore a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0$，
即$a^2+2a-3=0$，解得$a=1$或$a=-3$.

(1)(多选题)下列各对直线互相垂直的是 (ABD)

A.$l_1$过点$M(1,1), N(1,2)$, $l_2$过点$P(1,5), Q(3,5)$
B.$l_1$的斜率为$-\frac{2}{3}$, $l_2$过点$P(1,1), Q(0, -\frac{1}{2})$
C.$l_1$的倾斜角为$30°$, $l_2$过点$P(3, \sqrt{3}), Q(4, 2\sqrt{3})$
D.$l_1$过点$M(1,0), N(4, -5)$, $l_2$过点$P(-6,0), Q(-1,3)$

答案：
(1)ABD A中，$l_1$与$x$轴垂直，$l_2$与$x$轴平行，
故两直线垂直. B中，$l_2$过点$P(1,1)$，$Q(0,-\frac{1}{2})$，$k_{PQ}=\frac{3}{2}$，有
$k_{PQ}· k_1=-1$，故两条直线垂直. C中，$k_{PQ}=\sqrt{3}$，$k_{PQ}· k_2\neq-1$，故
$l_1$不与$l_2$垂直. D中，$l_1$过点$M(1,0)$，$N(4,-5)$，$k_{MN}=-\frac{5}{3}$，$l_2$
过点$P(-6,0)$，$Q(-1,3)$，$k_{PQ}=\frac{3}{5}$，$k_{MN}· k_2=-1$故两条直线
垂直.

(2)已知$\triangle ABC$的顶点为$A(5, -1), B(1,1), C(2,m)$，若$\triangle ABC$为直角三角形，求$m$的值.

答案：
(2)若$A$为直角，则$AC\perp AB$，$\therefore k_{AC}· k_{AB}=-1$，
即$\frac{m+1}{2-5}·\frac{1+1}{1-5}=-1$，解得$m=-7$；
若$B$为直角，则$AB\perp BC$，$\therefore k_{AB}· k_{BC}=-1$，
即$\frac{1+1}{1-5}·\frac{m-1}{2-1}=-1$，解得$m=3$；
若$C$为直角，则$AC\perp BC$，$\therefore k_{AC}· k_{BC}=-1$，
即$\frac{m+1}{2-5}·\frac{m-1}{2-1}=-1$，解得$m=\pm2$.
综上所述，$m=-7$或$m=3$或$m=\pm2$.

例3 已知点$A(2,2)$和直线$l: 3x + 4y - 20 = 0$. 求：
(1)过点$A$和直线$l$平行的直线方程;
(2)过点$A$和直线$l$垂直的直线方程.

答案： 例3:
(1)解法一:利用直线方程的点斜式求解.
由$l:3x+4y-20=0$，得直线$l$的斜率$k_l=-\frac{3}{4}$.
设过点$A$且平行于$l$的直线为$l_1$，
则直线$l_1$的斜率$k_{l_1}=k_l=-\frac{3}{4}$，
所以$l_1$的方程为$y-2=-\frac{3}{4}(x-2)$，
即$3x+4y-14=0$.
解法二:利用直线系方程求解.
设过点$A$且平行于直线$l$的直线$l_1$的方程为$3x+4y+m=0$
($m\neq-20$).
由点$A(2,2)$在直线$l_1$上，得$3×2+4×2+m=0$，解得$m=-14$.
故直线$l_1$的方程为$3x+4y-14=0$.
(2)解法一:设过点$A$与$l$垂直的直线为$l_2$，直线$l$的斜率为$k_1$，直线$l_2$的斜率为$k_2$，因为$k_1k_2=-1$，所以$k_2=\frac{4}{3}$，
故直线$l_2$的方程为$y-2=\frac{4}{3}(x-2)$，
即$4x-3y-2=0$.
解法二:设过点$A$且垂直于直线$l$的直线$l_2$的方程为$4x-3y+m=0$.因为$l_2$经过点$A(2,2)$，所以$4×2-3×2+m=0$，解得$m=-2$.故$l_2$的方程为$4x-3y-2=0$.