《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

知识点1 圆的一般方程
当$D^{2}+E^{2}-4F＞0$时，方程$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$表示以$\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$为圆心，$\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$为半径的圆，这个方程叫作圆的一般方程.
知识点2 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题
1. 已知点$M(x_{0},y_{0})$和圆的方程$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0(D^{2}+E^{2}-4F＞0)$.
点$M$在圆外$\Leftrightarrow x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+Dx_{0}+Ey_{0}+F$＞$0$；点$M$在圆上$\Leftrightarrow x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+Dx_{0}+Ey_{0}+F = 0$；点$M$在圆内$\Leftrightarrow x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+Dx_{0}+Ey_{0}+F$＜$0$.
2. 点$M$的坐标$(x,y)$满足的等量关系型称为点$M$的轨迹方程. 求符合某种条件的动点$M$的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为关于变量$x,y$之间的方程.

答案： 知识点1 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$
知识点2 1.＞ ＜ 2.等量关系型

例1. 若方程$x^{2}+y^{2}+2mx - 2y + m^{2}+5m = 0$表示圆，求实数$m$的取值范围，并写出圆心坐标和半径.

答案： 由表示圆的条件，得$(2m)^{2}+(-2)^{2}-4(m^{2}+5m)＞0$，解得$m＜\frac{1}{5}$，即实数$m$的取值范围为$(-\infty,\frac{1}{5})$。
圆心坐标为$(-m,1)$，半径为$\sqrt{1-5m}$。

(1) 若方程$x^{2}+y^{2}-4x + 2y + 5k = 0$表示圆，则实数$k$的取值范围是 (A)

A.$(-\infty,1)$
B.$(1,+\infty)$
C.$(-\infty,0)$
D.$(-\infty,1]$

答案：
(1)A 因为$x^{2}+y^{2}-4x+2y+5k=0$表示圆，
则$16 + 4 - 4×5k＞0$，所以$k＜1$。

(2) 当圆$C:x^{2}+y^{2}-4x - 2my + 2m = 0$的面积最小时，$m$的取值是 (D)

A.4
B.3
C.2
D.1

答案：
(2)D $\because$圆$C:x^{2}+y^{2}-4x - 2my+2m=0$，
$\therefore$圆C的标准方程为$(x - 2)^{2}+(y - m)^{2}=m^{2}-2m + 4$，从对于圆C的半径$r$有$r^{2}=m^{2}-2m + 4=(m - 1)^{2}+3\geq3$，所以当$m = 1$时，$r^{2}$取得最小值，
从而圆C的面积$\pi r^{2}$在$m = 1$时取得最小值.

例2. 已知$A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)$都是$\odot P$上的三点，求这个圆的方程.

答案： 方法一(待定系数法)：设圆的标准方程为$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}(r＞0)$，因为$A,B,C$三点都在圆上，
$\begin{cases}(-a)^{2}+(5 - b)^{2}=r^{2}\\(1 - a)^{2}+(-2 - b)^{2}=r^{2}\\(-3 - a)^{2}+(-4 - b)^{2}=r^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-3\\b=1\\r=5\end{cases}$，
所以圆的标准方程为$(x + 3)^{2}+(y - 1)^{2}=25$，化为一般方程即$x^{2}+y^{2}+6x - 2y - 15=0$。
方法二(几何性质法)：易知线段AB的中点为$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$，斜率为$k_{AB}=-7$，线段BC的中点为$(-1,-3)$，斜率为$k_{BC}=\frac{1}{2}$，
所以线段AB的中垂线为$y-\frac{3}{2}=\frac{1}{7}(x-\frac{1}{2})$，即$x - 7y + 10=0$ ①，
线段BC的中垂线为$y + 3=-2(x + 1)$，即$2x + y + 5=0$
②，
联立①②可解得$x=-3,y = 1$，所以所求圆的圆心为$(-3,1)$。
设圆的半径为$r$，则$r^{2}=(-3)^{2}+(1 - 5)^{2}=25$，
故所求圆的标准方程为$(x + 3)^{2}+(y - 1)^{2}=25$，化为一般方程即$x^{2}+y^{2}+6x - 2y - 15=0$。