《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

知识点 1 双曲线的定义
(1) 双曲线的定义
平面内与两个定点 $ F_1,F_2 $ 的距离的差的绝对值等于的点的集合(或轨迹)叫作双曲线. 这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
(2) 双曲线定义的集合语言表示
设双曲线上任一点 $ M $ 与两焦点距离之差的绝对值为常数 $ 2a $，则 $ M $ 所满足的集合是 $ P = $.

答案： 知识点1
(1)常数（小于$\|F_1F_2\|$且不等于零）
(2)$\{\begin{array}{l}|M{F_1}|-|M{F_2}||=2a(0＜2a＜|F_1F_2|)\end{array}$

知识点 2 双曲线的标准方程
(1) 双曲线标准方程的比较

(2) 由标准方程判断焦点位置的方法
焦点 $ F_1,F_2 $ 的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型. “焦点跟着正项走”，若 $ x^2 $ 项的系数为正，则焦点在 $ x $ 轴上；若 $ y^2 $ 项的系数为正，则焦点在 $ y $ 轴上.

答案： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ 0, b ＞ 0)$；$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1(a ＞ 0, b ＞ 0)$