《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

已知直线 l 经过点 $M(3,3)$ 和 $N(2,3+\sqrt{3})$, 求直线 l 的一个方向向量, 并求直线 l 的斜率和倾斜角.

答案： 对点训练4:$\overrightarrow{MN} = (2 - 3,3 + \sqrt{3} - 3) = (-1,\sqrt{3})$，$\therefore$直线$l$的一个方向向量为$\overrightarrow{MN} = (-1,\sqrt{3})$，$\therefore$斜率$k = \frac{3 + \sqrt{3} - 3}{2 - 3} = -\sqrt{3}$，由直线$l$的倾斜角$\theta$满足$\tan \theta = -\sqrt{3}$，知$\theta = 120^{\circ}$.

例5. 已知直线 l 的倾斜角 $\alpha \in (60°,150°)$, 求直线 l 的斜率的取值范围.

[错解] $\because 60° ＜ \alpha ＜ 150°$, 且 $\tan 60° = \sqrt{3}$, $\tan 150° = -\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\therefore -\frac{\sqrt{3}}{3} ＜ k ＜ \sqrt{3}$.
[辨析] 首先 $\alpha = 90°$ 时, $\tan \alpha$ 不存在; 其次 $60° ＜ \alpha ＜ 90°$ 时, k 随角 $\alpha$ 递增, $90° ＜ \alpha ＜ 150°$ 时, k 随角 $\alpha$ 也递增.
[正解]
[误区警示] 在直线这一部分中忽视斜率不存在的情况是常见的错误.

答案： 例5:当$\alpha = 90^{\circ}$时，斜率不存在;当$\alpha \in (60^{\circ},90^{\circ})$时，$k \in (\sqrt{3}, +\infty)$;当$\alpha \in (90^{\circ},150^{\circ})$时，$k \in (-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3})$

1. 若直线过点 $A(1,-1), B(2,\sqrt{3}-1)$, 则此直线的一个方向向量和倾斜角分别为 (C)

A.$(1,-1),30°$
B.$(2,\sqrt{3}-1),45°$
C.$(1,\sqrt{3}),60°$
D.$(\sqrt{3},1),90°$

答案： 1.C $\because \overrightarrow{AB} = (1,\sqrt{3})$，$\therefore$此直线的一个方向向量为$(1,\sqrt{3})$.
直线$AB$的斜率$k_{AB} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$，$\therefore$直线$AB$的倾斜角为$60^{\circ}$.

2. 若直线 l 的一个方向向量为 $\mathbf{v} = (2+\sqrt{2},\sqrt{2})$, 直线 l 的倾斜角为 (B)

A.$\frac{\pi}{12}$
B.$\frac{\pi}{8}$
C.$\frac{\pi}{4}$
D.$\frac{\pi}{6}$

答案： 2.B 设直线$l$的倾斜角为$\alpha$，则$\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$，又$\alpha \in [0,\pi)$，$\tan \frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} - 1$，所以$\alpha = \frac{\pi}{8}$，故选B.

3. 经过 $A(a,b)$ 和 $B(3a,3b)$ ($a \neq 0$) 两点的直线的斜率 $k =$ $\frac{b}{a}$.

答案： 3.$\frac{b}{a}$ $\because a \neq 0$，$\therefore$斜率$k = \frac{3b - b}{3a - a} = \frac{b}{a}$

4. 已知方程 $2x + 3y + 6 = 0$.
(1) 把这个方程改写成一次函数形式;
(2) 画出这个方程所对应的直线 l;
(3) 点 $(\frac{3}{2},1)$ 是否在直线 l 上?
(4) 方程 $2x + 3y + 6 = 0$ ($x \in \mathbb{Z}$) 是不是直线 l 的方程?

答案：
4.
(1)由$2x + 3y + 6 = 0$，得$3y = -2x - 6$，即$y = -\frac{2}{3}x - 2$.
(2)当$x = 0$时，$y = -2$，$y = 0$时，$x = -3$，$\therefore$在坐标平面内作出两点，即$A(0, -2)$，$B(-3,0)$.
作出直线$AB$即为方程$2x + 3y + 6 = 0$的直线$l$.
(3)将$(\frac{3}{2},1)$的坐标代入$2x + 3y + 6 = 0$不满足，$\therefore$点$(\frac{3}{2},1)$不在直线$l$上.
(4)虽然以方程$2x + 3y + 6 = 0(x \in \mathbf{Z})$的解为坐标的点都在直线$l$上，但直线$l$上的点的坐标不都是该方程的解，如点$C(-\frac{3}{2}, -1) \in l$，但$\begin{cases}x = -\frac{3}{2} \\ y = -1 \end{cases}$却不是该方程的解.
$\therefore$方程$2x + 3y + 6 = 0(x \in \mathbf{Z})$不是直线$l$的方程.