《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例 3 已知双曲线 $ \frac{x^2}{3} - y^2 = 1 $ 的左、右焦点分别为 $ F_1,F_2 $，$ P $ 为双曲线右支上一点，点 $ Q $ 的坐标为 $ (-2,3) $，则 $ |PQ| + |PF_1| $ 的最小值为$5+2\sqrt{3}$.

答案：
例3:$5+2\sqrt{3}$ 如图,
由双曲线$\frac{x^2}{3}-y^2=1$,得$a^2=3,b^2=1$,

$\therefore c^2=a^2+b^2=4$,则$c=2$,
则$F_2(2,0)$,
$\because|PF_1|-|PF_2|=2\sqrt{3},\therefore|PF_1|=2\sqrt{3}+|PF_2|$,
则$|PQ|+|PF_1|=|PQ|+|PF_2|+2\sqrt{3}$,
连接$QF_2$交双曲线右支于$P$,
则此时$|PQ|+|PF_2|$最小等于$|QF_2|$,
$\because Q$的坐标为$(-2,3),F_2(2,0)$,
$\therefore|QF_2|=\sqrt{(-2-2)^2+(3-0)^2}=5$,
$\therefore|PQ|+|PF_1|$的最小值为$5+2\sqrt{3}$.

(2024·天津卷) 双曲线 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0) $ 的左、右焦点分别为 $ F_1 $、$ F_2 $. $ P $ 是双曲线右支上一点，且直线 $ PF_2 $ 的斜率为 2. $ \triangle PF_1F_2 $ 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为(C)

A.$ \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{2} = 1 $
B.$ \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{4} = 1 $
C.$ \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{8} = 1 $
D.$ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = 1 $

答案：
对点训练3:C 如图所示,点$P$必落在第四象限,$\angle F_1PF_2=90°$,设$|PF_2|=m$,
$\angle PF_2F_1=\theta_1,\angle PF_1F_2=\theta_2$,由$k_{PF_2}=\tan\theta_1=2$,求得$\sin\theta_1=\frac{2}{\sqrt{5}}$,
因为$\angle F_1PF_2=90°$,所以$k_{PF_1}· k_{PF_2}=-1$,求得$k_{PF_1}=-\frac{1}{2}$,即$\tan\theta_2=-\frac{1}{2}$,
$\sin\theta_2=\frac{1}{\sqrt{5}}$,由正弦定理可得:
$|PF_1|:|PF_2|:|F_1F_2|=\sin\theta_1:\sin\theta_2:\sin90°=2:1:\sqrt{5}$,
则由$|PF_2|=m$得$|PF_1|=2m,|F_1F_2|=2c=\sqrt{5}m$,
由$S_{\triangle PF_1F_2}=\frac{1}{2}|PF_1|·|PF_2|=\frac{1}{2}m·2m=8$
得$m=2\sqrt{2}$,
则$|PF_2|=2\sqrt{2},|PF_1|=4\sqrt{2},|F_1F_2|=2c=2\sqrt{10},c=\sqrt{10}$,
由双曲线第一定义可得:$|PF_1|-|PF_2|=2a=2\sqrt{2},a=\sqrt{2}$,
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{8}$,
所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{8}=1$.故选C.

例 4 已知双曲线 $ 8kx^2 - ky^2 = 8 $ 的一个焦点为 $ (0,3) $，求 $ k $ 的值.
[错解] 将双曲线方程化为标准方程为 $ \frac{x^2}{\frac{1}{k}} - \frac{y^2}{\frac{8}{k}} = 1 $.
由题意知焦点在 $ y $ 轴上，所以 $ a^2 = \frac{8}{k},b^2 = \frac{1}{k} $，所以 $ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{\frac{8}{k} - \frac{1}{k}} = 3 $，即 $ \frac{7}{k} = 9 $，所以 $ k = \frac{7}{9} $.
[辨析] 上述解法有两处错误：一是 $ a^2,b^2 $ 确定错误，应该是 $ a^2 = -\frac{8}{k},b^2 = -\frac{1}{k} $；二是 $ a,b,c $ 的关系式用错了，在双曲线中应为 $ c^2 = a^2 + b^2 $.
[正解]

答案： 例4:双曲线$8kx^2-ky^2=8$化为$\frac{x^2}{\frac{1}{k}}-\frac{y^2}{\frac{8}{k}}=1$,
则$\frac{1}{k}-\frac{8}{k}=3^2,\therefore k=-1$.