《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例3.(多选题)若 $0＜P(A)＜1,0＜P(B)＜1$,则下列式子中成立的为 (BCD)

A.$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(A)}$
B.$P(AB)=P(A)P(B|A)$
C.$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})$
D.$P(A|B)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)}$

答案： 例3:BCD 由条件概率的计算公式知A错误，B，C显然正确；D选项中，因为$P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$，故D正确.
[错解] BC 由条件概率的计算公式知 A,D 错误,B,C 显然正确.
[辨析] 记忆公式时要抓住公式的结构特性,同时还要正确理解各个随机事件的含义.
[正解]

1.若 $P(B)=\frac{3}{5},P(A|B)=\frac{1}{2}$,则 $P(AB)$ 为 (A)

A.$\frac{3}{10}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{5}$

答案： 1 A

2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽一张,则第2次才抽到A的概率是 (C)

A.$\frac{1}{13}$
B.$\frac{1}{17}$
C.$\frac{16}{221}$
D.$\frac{4}{51}$

答案： 2 C

3.有朋自远方来,乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为 (C)

A.0.65
B.0.075
C.0.145
D.0

答案： 3 C

4.袋中有10个黑球,5个白球.现掷一枚均匀的骰子,掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球,则掷出3点的概率为0.04835.

答案： 4 0.04835 设$B=\{$取出的球全是白球$\}$，$A_i=\{$掷出$i$点$\}(i=1,2,·s,6)$，
由贝叶斯公式，得：
$P(A_3|B)=\frac{P(A_3)P(B|A_3)}{\sum_{i=1}^{5} P(A_i)P(B|A_i)}=\frac{\frac{1}{6} × \frac{C_5^3}{C_{15}^3}}{\frac{5}{6} × \frac{1}{C_{15}^3} × \sum_{i=1}^{5} C_4^{i-1}}=0.04835$。

5.用血清诊断肝癌,临床实践表明,患肝癌的病人中有95%试验呈阳性,也有2%的非肝癌患者化验呈阳性.若将此法用于人群肝癌普查,设人群中肝癌患病率0.2%,现某人在普查中化验结果呈阳性,求此人确患肝癌的概率(结果保留三位小数).

答案： 5 设事件A表示“被化验者确患肝癌”，事件B表示“被化验者结果呈阳性”，则$P(B|A)=0.95，P(\overline{B}|\overline{A})=0.02$，$P(A)=0.002，P(\overline{A})=1-P(A)=0.998$，
$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(\overline{B}|A)P(\overline{A})}$
$=\frac{0.95 × 0.002}{0.95 × 0.002 + 0.02 × 0.998} \approx 0.087$。