《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

(1) 以$A(1,3), B(-5,1)$为端点的线段的垂直平分线方程是 (B)

A.$3x - y - 8 = 0$
B.$3x + y + 4 = 0$
C.$3x - y + 6 = 0$
D.$3x + y + 2 = 0$

答案：
(1)B 因为$k_{AB}=\frac{1-3}{-5-1}=\frac{1}{3}$，$AB$的中点坐标
为$(-2,2)$，所以所求直线方程为$y-2=-3(x+2)$，化简为
$3x+y+4=0$.

(2) 求过直线$l_1: 3x + 4y - 2 = 0$与直线$l_2: 2x + y + 2 = 0$的交点且平行于直线$5x + 4y = 0$的直线方程.

答案：
(2)由题意得$\begin{cases}3x+4y-2=0,\\2x+y+2=0,\end{cases}$①
②$×4-$①得$5x+10=0$，解得$x=-2$.
将$x=-2$代入②得$2×(-2)+y+2=0$，所以$y=2$.
所以两直线的交点坐标为$(-2,2)$.
设与直线$5x+4y=0$平行的直线方程为$5x+4y+c=0$($c\neq$
0)，代入$(-2,2)$得$5×(-2)+4×2+c=0$，所以$c=2$.
故所求直线方程为$5x+4y+2=0$.

例4 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.
(1)$l_1: 2x - y - 7 = 0$和$l_2: 3x + 2y - 7 = 0$;
(2)$l_2: 2x - 6y + 4 = 0$和$l_2: 4x - 12y + 8 = 0$;
(3)$l_4: 4x + 2y + 4 = 0$和$l_2: y = -2x + 3$.

答案： 例4:
(1)方程组$\begin{cases}2x-y-7=0,\\3x+2y-7=0,\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=3,\\y=-1,\end{cases}$
因此直线$l_1$和$l_2$相交，交点坐标为$(3,-1)$.
(2)方程组$\begin{cases}2x-6y+4=0,\\4x-12y+8=0,\end{cases}$有无数个解，
这表明直线$l_1$和$l_2$重合.
(3)方程组$\begin{cases}4x+2y+4=0,\\y=-2x+3\end{cases}$无解，
这表明直线$l_1$和$l_2$没有公共点，故$l_1// l_2$.

经过两点$A(-2,5), B(1, -4)$的直线$l$与$x$轴的交点的坐标是 (A)

A.$\left( -\frac{1}{3}, 0 \right)$
B.$(-3, 0)$
C.$\left( \frac{1}{3}, 0 \right)$
D.$(3, 0)$

答案： 对点训练4:A 过点$A(-2,5)$和$B(1,-4)$的直线方程为
$3x+y+1=0$，
故它与$x$轴的交点的坐标为$(-\frac{1}{3},0)$.

例5 已知直线$5x + 4y = 2a + 1$与直线$2x + 3y = a$的交点位于第四象限，则$a$的取值范围是$(-\frac{3}{2},2)$.

答案： 例5:$(-\frac{3}{2},2)$ 由$\begin{cases}5x+4y=2a+1,\\2x+3y=a,\end{cases}$得$\begin{cases}x=\frac{2a+3}{7},\\y=\frac{a-2}{7}\end{cases}$
由$\begin{cases}\frac{2a+3}{7}＞0,\frac{a-2}{7}＜0,\end{cases}$得$\begin{cases}a＞-\frac{3}{2},\\a＜2.\end{cases}$
$\therefore-\frac{3}{2}＜a＜2$，即$a\in(-\frac{3}{2},2)$.

若直线$l: y = kx - \sqrt{3}$与直线$x + y - 3 = 0$相交，且交点在第一象限，则直线$l$的倾斜角$\theta$的取值范围是 (C)

A.$(0°, 60°)$
B.$(30°, 60°)$
C.$(30°, 90°)$
D.$(60°, 90°)$

答案： 对点训练5:C 由题可知$k\neq-1$，
联立$\begin{cases}y=kx-\sqrt{3},\\x+y-3=0,\end{cases}$解得$x=\frac{3+\sqrt{3}}{1+k}$，$y=\frac{3k-\sqrt{3}}{1+k}$，
$\therefore$两直线的交点坐标为$(\frac{3+\sqrt{3}}{1+k},\frac{3k-\sqrt{3}}{1+k})$
∵两直线的交点在第一象限，
$\therefore\begin{cases}\frac{3+\sqrt{3}}{1+k}＞0,\frac{3k-\sqrt{3}}{1+k}＞0,\end{cases}$解得$k＞\frac{\sqrt{3}}{3}$
又直线$l$的倾斜角为$\theta$，则$\tan\theta＞\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore\theta\in(30^{\circ},90^{\circ})$.

例6 已知两直线$l_1: ax + 3y - 3 = 0, l_2: 4x + (a + 4)y + 2 = 0$, 若$l_1 // l_2$，求$a$的值.
[错解] $\because l_1 // l_2, \therefore \frac{-a}{3} = \frac{-4}{a + 4}, \therefore a^2 + 4a - 12 = 0. \therefore a = 2$或$a = -6$.
[辨析] 错解中忽略了两直线重合这一情况.
[正解]

答案： 例6:当$a=-4$时，$l_1:4x-3y+3=0$与$l_2:4x+2=0$不平
行，$\therefore a\neq-4$.
∵$l_1// l_2$，$\therefore\frac{-a}{3}=\frac{-4}{a+4}$，$\therefore a^2+4a-12=0$，
$\therefore a=2$或$a=-6$.
当$a=-6$时，$l_1:-6x+3y-3=0$，即$2x-y+1=0$，$l_2:4x-2y+2=0$，即$2x-y+1=0$，此时$l_1$与$l_2$重合，$\therefore a\neq-6$.
当$a=2$时，$l_1:2x+3y-3=0$，$l_2:4x+6y+2=0$，即$2x+3y+1=0$，$\therefore l_1// l_2$.
综上可知，$a=2$.