《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

知识点2 直线的斜率
倾斜角不是$\frac{\pi}{2}$的直线, 它的斜率 k 和它的倾斜角 $\alpha$ 满足 $k = \tan \alpha$ (其中 $\alpha \neq \frac{\pi}{2}$).
在直线 l 上任取两个不同的点 $P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2)$ ($x_1 \neq x_2$), 则称$k = \frac{y_2 - y_1}{x_1 \neq x_2}$（其中$x_1 \neq x_2$）为经过不同两点 $P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2)$ 的直线 l 的斜率.
显然, 若直线 l 垂直于 x 轴, 则它的斜率不存在; 若直线 l 不与 x 轴垂直, 则它的斜率存在且唯一, 因此, 我们常用斜率来表示直线的倾斜的程度.

答案： 知识点2 $k = \frac{y_2 - y_1}{x_1 \neq x_2}$（其中$x_1 \neq x_2$） 倾斜的程度

知识点3 直线的斜率与倾斜角的关系
1. 当 $\alpha \in [0,\frac{\pi}{2})$ 时, 斜率$k \geq 0$, 且 k 随倾斜角 $\alpha$ 的增大而增大.
2. 当 $\alpha \in (\frac{\pi}{2},\pi)$ 时, 斜率$k ＜ 0$, 且 k 随倾斜角 $\alpha$ 的增大而增大.
3. $\alpha = \frac{\pi}{2}$ 时, 直线 l 与 x 轴垂直, 此时直线 l 的斜率不存在.

答案： 知识点3 1.$k \geq 0$ 增大 2.$k ＜ 0$ 增大

例1. (1) 直线 $x = -1$ 的倾斜角为 (B)

A.$135°$
B.$90°$
C.$45°$
D.$0°$

答案： 例1:
(1)B 因为直线与$x$轴垂直，所以倾斜角为$90^{\circ}$.

(2) 下列说法正确的是 (C)

A.一条直线和 x 轴的正方向所成的角, 叫作这条直线的倾斜角
B.直线的倾斜角 $\alpha$ 在第一或第二象限
C.和 x 轴平行的直线, 它的倾斜角为 $0°$
D.不是每一条直线都有倾斜角

答案： 例1:
(2)C 由倾斜角的定义可知，故A错误;倾斜角的范围是$[0^{\circ},180^{\circ})$，故B错误;和$x$轴平行的直线的倾斜角是$0^{\circ}$，故C正确;每条直线都有倾斜角，故D错误.

(3) 已知直线 l 经过第二、四象限, 则直线 l 的倾斜角 $\alpha$ 的取值范围是 (C)

A.$[0°,90°)$
B.$[90°,180°)$
C.$(90°,180°)$
D.$(0°,180°)$ ▶[规律方法]

答案： 例1:
(3)C 直线倾斜角的取值范围是$[0^{\circ},180^{\circ})$，又直线$l$经过第二、四象限，所以直线$l$的倾斜角$\alpha$的取值范围是$(90^{\circ},180^{\circ})$.

(1) 已知直线 l 的倾斜角为 $\theta - 25°$, 则角 $\theta$ 的取值范围为 (D)

A.$[25°,155°)$
B.$[-25°,155°)$
C.$[0°,180°)$
D.$[25°,205°)$

答案： 对点训练1:
(1)D 因为直线$l$的倾斜角为$\theta - 25^{\circ}$，所以$\theta - 25^{\circ} \in [0^{\circ},180^{\circ})$，所以$\theta \in [25^{\circ},205^{\circ})$.

(2) 已知直线 l 向上方向与 y 轴正向所成的角为 $30°$, 则直线 l 的倾斜角为60°或120°.

答案：
对点训练1:
(2)60°或120° 有两种情况:如图1，直线$l$向上方向与$x$轴正向所成的角为$60^{\circ}$，即直线$l$的倾斜角为$60^{\circ}$;

如图2，直线$l$向上方向与$x$轴正向所成的角为$120^{\circ}$，即直线$l$的倾斜角为$120^{\circ}$.

例2. (1) 若 $A(1,0), B(-3,m)$, 直线 AB 的斜率为 $-\frac{1}{2}$, 则 $m =$ (C)

A.$-8$
B.$-2$
C.$2$
D.$8$

答案： 例2:
(1)C 由斜率公式得$\frac{m - 0}{-3 - 1} = -\frac{1}{2}$，$\therefore m = 2$,故选C.

(2) 若直线过点 $C(1,3), D(4,3+\sqrt{3})$, 则此直线的倾斜角为$\frac{\pi}{6}$. ▶[规律方法]

答案： 例2:
(2)$\frac{\pi}{6}$ 由题意得直线$CD$的斜率$k = \frac{3 + \sqrt{3} - 3}{4 - 1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore$此直线的倾斜角是$\frac{\pi}{6}$.