《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 直线$x - y - 1 = 0$与坐标轴所围成的三角形面积为 (D)

A.$\frac{1}{4}$
B.$2$
C.$1$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 1.D 令$x = 0,y = -1$，令$y = 0,x = 1$，$\therefore$所求三角形面积为$S =\frac{1}{2} × 1 × | -1| = \frac{1}{2}$.

2. 若$ac ＜ 0$，$bc ＜ 0$，则直线$ax + by + c = 0$的图形只能是

A.
B.
C.
D.

答案： 2.C $\because ac ＜ 0,bc ＜ 0$，
$\therefore$令$y = 0,x = -\frac{c}{a} ＞ 0$，
令$x = 0,y = -\frac{c}{b} ＞ 0$，
$\therefore$直线$ax + by + c = 0$在$x$轴、$y$轴上的截距都为正数，故选C.

3. 直线$ax + 3my + 2a = 0(m \neq 0)$过点$(1,-1)$，则直线的斜率$k$等于 (D)

A.$-3$
B.$3$
C.$\frac{1}{3}$
D.$-\frac{1}{3}$

答案： 3.D 由题意得$a - 3m + 2a = 0$，$a = m$.
又直线$ax + 3my + 2a = 0$的斜率$k = -\frac{a}{3m} = -\frac{1}{3}$

4. 直线$l$经过点$P(2,-1)$，且它的一个法向量$\boldsymbol{n} = (-3,-4)$，则直线$l$的方程为$3x + 4y - 2 = 0$.

答案： 4.$3x + 4y - 2 = 0$ 由直线的点法式方程可得直线$l$的方程为
$-3(x - 2) - 4(y + 1) = 0$，即$3x + 4y - 2 = 0$.

知识点1 两条直线平行
1. 几何方法判断
对于两条不重合的直线$l_1, l_2$，倾斜角分别为$\alpha_1, \alpha_2$，则$\alpha_1=\alpha_2$是$l_1 // l_2$的充要条件.
对于两条不重合的直线$l_1: y = k_1x + b_1, l_2: y = k_2x + b_2$(其中$b_1 \neq b_2$)，$l_1 // l_2 \Leftrightarrow $$k_1=k_2$$$；$l_1$与$l_2$相交$\Leftrightarrow $$k_1\neq k_2$$$.
2. 向量方法判断
对于两条不重合的直线$l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0 (A_1, B_1$不全为$0$), $l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0 (A_2, B_2$不全为$0)$，
它们的法向量分别是$\boldsymbol{n}_1 = (A_1, B_1), \boldsymbol{n}_2 = (A_2, B_2)$，
(1)$l_1$与$l_2$相交(即只有一个交点)的充要条件是$\boldsymbol{n}_1$与$\boldsymbol{n}_2$不共线，即$A_1B_2\neq A_2B_1$.
(2)$l_1$与$l_2$平行的充要条件是$\boldsymbol{n}_1$与$\boldsymbol{n}_2$共线，即$A_1B_2=A_2B_1$.

答案： 1.$\alpha_1=\alpha_2$ $k_1=k_2$ $k_1\neq k_2$ 2.
(1)$A_1B_2\neq A_2B_1$
(2)$A_1B_2=A_2B_1$