《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例5.已知$(\sqrt[4]{\frac{1}{x}} + \sqrt[3]{x^{2}})^{n}$的展开式中倒数第三项的系数为$45$.
(1)求含有$x^{3}$的项；
(2)求系数最大的项.
[分析] 先根据条件求出$n$的值，再求出特定项.

答案： 例5：（1）已知展开式中倒数第三项的系数为45，则$C_{n}^{n - 2} = 45$，即$C_{n}^{2} = 45$，得$n^{2} - n = 90$，解得$n = - 9$（不合题意，舍去）或$n = 10$.
通项$T_{k + 1} = C_{10}^{k}(x^{-\frac{1}{4}})^{10 - k}(x^{\frac{2}{3}})^{k} = C_{10}^{k}x^{-\frac{10 - k}{4} + \frac{2k}{3}}(0\leq k\leq10,k\in N)$，令$-\frac{10 - k}{4} + \frac{2k}{3} = 3$，解得$k = 6$.
故含有$x^{3}$的项是第七项，$T_{7} = C_{10}^{6}x^{3} = 210x^{3}$.
（2）$\because (\sqrt[4]{\frac{1}{x}} + \sqrt[3]{x^{2}})^{10}$的展开式中共有11项，
$\therefore$系数最大的项是第六项，
$T_{6} = C_{10}^{5}(\sqrt[4]{\frac{1}{x}})^{5}(\sqrt[3]{x^{2}})^{5} = 252x^{\frac{25}{12}}$.

例6. 已知$(x + 2)(2x - 1)^{5} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ·s + a_{6}x^{6}$，则$a_{0} + a_{2} + a_{4} =$ (C)

A.$123$
B.$91$
C.$-152$
D.$-120$

答案： 例6：C $(x + 2)(2x - 1)^{5} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4} + a_{5}x^{5} + a_{6}x^{6}$中，
取$x = 1$，得$a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 3$，
取$x = - 1$，得$a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5} + a_{6} = - 243$，
所以$2(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6}) = - 240$，
即$a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} = - 120$，又$a_{6} = 32$，则$a_{0} + a_{2} + a_{4} = - 152$.

例7. 现有$16$张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各$4$张，从中任取$3$张，要求这$3$张卡片中至多有两张红色卡片，并且其余卡片颜色不能相同，那么不同取法的种数为328.(用数字作答)

答案： 例7：328 根据题意，分3种情况讨论：
①取出的3张卡片中有2张红色的，需要在其他三种颜色的卡片中任选1张，
有$C_{4}^{2} · C_{12}^{1} = 72$（种）不同的取法；
②取出的3张卡片中有1张红色的，先在4张红色卡片中选出1张，在其他三种颜色中任选2种，在选出的2种颜色的卡片中任选1张，
有$C_{4}^{1} · C_{3}^{2} · C_{4}^{1} · C_{4}^{1} = 192$（种）取法；
③取出的3张卡片中没有红色的，需要在其他三种颜色的卡片中各抽取1张，
有$C_{4}^{1} · C_{4}^{1} · C_{4}^{1} = 64$（种）取法.
故共有72+192+64=328（种）取法.