《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例 1. 下列问题不是组合问题的是 (D)

A.从甲、乙、丙、丁四位老师中选取两位去参加学习交流会，有多少种选法？
B.平面上有 2016 个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C.集合 $\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, ·s, a_{n}\}$ 含有三个元素的子集有多少个？
D.从高三(19)班的 54 名学生中选出 2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
[分析] 区分某一问题是组合问题还是排列问题，关键是看取出的元素是否有顺序，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题。

答案： 例1:D 组合问题与顺序无关，排列问题与顺序有关，D选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱，乙参加独舞”与“乙参加独唱，甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.

已知 $A,B,C,D,E$ 五个元素，写出每次取出 3 个元素的所有组合。

答案：
解法一：可按$ AB\to AC\to AD\to BC\to BD\to CD$的顺序写出，即

$\therefore$所有组合为$ ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE$.
解法二：画出树形图，如图所示.

$\therefore$所有组合为$ ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE$.

例 2. (1) 式子 $\frac{n(n+1)(n+2) ·s (n+100)}{100!}$ 可表示为 (D)
A. $A_{n+100}^{100}$
B. $C_{n+100}^{100}$
C. $101 C_{n+100}^{100}$
D. $101 C_{n+100}^{101}$
(2) 计算：$C_{10}^{4} - C_{7}^{3} · A_{3}^{3}$。
(3) 证明：$m C_{n}^{m} = n C_{n-1}^{m-1}$。

答案： 例2:
(1)D 分式的分母是$100!$，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为$n + 100$，最小的为$n$，
故$\frac{n(n + 1)(n + 2)·s·s(n + 100)}{100!} = 101·\frac{n(n + 1)(n + 2)·s(n + 100)}{101!} = 101 C_{n + 100}^{101}$.
(2)原式$= C_{10}^{3} - A_{7}^{3} = \frac{10× 9× 8× 7}{4× 3× 2× 1} - 7× 6× 5 = 210 - 210 = 0$.
(3)证明：$m C_{n}^{m} = m·\frac{n!}{m!(n - m)!} = \frac{n!}{(m - 1)!(n - m)!} = n·\frac{(n - 1)!}{(m - 1)![(n - 1) - (m - 1)]!} = n C_{n - 1}^{m - 1}$.