《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

知识点2 空间向量的运算

$a + b = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
向量求和的三角形法则$a + b = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}$
向量求和的平行四边形法则
$a - b = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{BA}$
实数$\lambda$与空间向量$a$的乘积仍然是一个向量,记作$\lambda a$.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算,向量$\lambda a$的长度和方向满足.
(1)$|\lambda a| =$$|\lambda||\boldsymbol{a}|$;
(2)当$\lambda ＞ 0$时,向量$\lambda a$与向量$a$方向相同;当$\lambda ＜ 0$时,向量$\lambda a$与向量$a$方向相反;
当$\lambda = 0$时,$\lambda a =$0.
运算律
(1)交换律:$a + b = b + a$
(2)结合律:$(a + b) + c = a + (b + c)$ $\lambda(\mu a) = (\lambda\mu)a$
(3)分配律:$(\lambda + \mu)a = \lambda a + \mu a$ $\lambda(a + b) = \lambda a + \lambda b$
其中$\lambda \in \mathbf{R},\mu \in \mathbf{R}$

答案： $|\lambda||\boldsymbol{a}|$ 相同 相反 0

知识点3 共线向量基本定理
定理:空间两个向量$a,b(b \neq 0)$共线的充要条件是存在唯一的实数$\lambda$,使得$a = \lambda b$.通常把这个定理称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”)

答案： 答题卡：
设向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$（$\vec{b} \neq \vec{0}$）共线。
根据共线向量基本定理，存在唯一的实数 $\lambda$，使得 $\vec{a} = \lambda \vec{b}$。
反之，若存在唯一的实数 $\lambda$，使得 $\vec{a} = \lambda \vec{b}$，则向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 共线。
（若本题有具体向量给出，可设$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，由$\vec{a}=\lambda\vec{b}$得到$\begin{cases}x_1 = \lambda x_2\\y_1=\lambda y_2\\z_1=\lambda z_2\end{cases}$，通过解这组方程求出$\lambda$的值，进而验证两向量共线，但由于本题未给出具体向量，故只写出共线向量基本定理的应用形式。）
最终结论：空间两个向量 $\vec{a}, \vec{b} (\vec{b} \neq \vec{0})$ 共线的充要条件是存在唯一的实数 $\lambda$，使得 $\vec{a} = \lambda \vec{b}$。