《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球。

答案： 答案略

(1) 从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？

答案：
(1)从口袋内的$8$个球中取出$3$个，
取法种数是$ C_{8}^{3} = \frac{8× 7× 6}{3× 2× 1} = 56$.

(2) 从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？

答案：
(2)从口袋内先取出$1$个黑球，再从$7$个白球中取出$2$个，
取法种数是$ C_{7}^{2} = \frac{7× 6}{2× 1} = 21$.

(3) 从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

答案：
(3)由于所取出的$3$个球中不含黑球，也就是要从$7$个白球中取出$3$个球，取法种数是$ C_{7}^{3} = \frac{7× 6× 5}{3× 2× 1} = 35$.

例 5. 某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需 2 人参加，乙、丙各需 1 人参加，从 10 人中选派 4 人参加这三个会议，不同的安排方法共有2520种（用数字作答）。
[错解] 先从 10 人中选出 4 人，共有 $C_{10}^{4}$ 种不同选法。再从选出的 4 人中选出 2 人参加会议甲有 $C_{4}^{2}$ 种选法，剩下的 2 人参加会议乙、丙有 $C_{2}^{2}$ 种选法，所以共有 $C_{10}^{4} C_{4}^{2} C_{2}^{2} = 1260$（种）。
[辨析] 计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的对象是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆。若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数。
[正解]

答案： 例5:$2520$ 正解一：先从$10$人中选出$2$人参加会议甲，再从余下$8$人中选出$1$人参加会议乙，最后从剩下的$7$人中选出$1$人参加会议丙.
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有$ C_{10}^{2} C_{8}^{1} C_{7}^{1} = 2520$(种).
正解二：先从$10$人中选出$2$人参加会议甲，再从余下$8$人中选出$2$人分别参加会议乙、丙.
根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有$ C_{10}^{2} A_{8}^{2} = 2520$(种).

1. 下面几个问题是组合问题的有 (C)
① 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
② 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名，有多少种不同的选法？
③ 有 4 张电影票，要在 7 人中确定 4 人去观看，有多少种不同的选法？
④ 某人射击 8 枪，命中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，不同的结果有多少种？

A.①②
B.①③④
C.②③④
D.①②③④

答案： 1.C ①与顺序有关，是排列问题，而②③④均与顺序无关，是组合问题，故选C.

2. 计算组合数 $C_{12}^{9}$ 得到的值为 (C)

A.1320
B.66
C.220
D.240

答案： 2.C 根据题意，$ C_{12}^{9} = C_{12}^{3} = \frac{12× 11× 10}{3× 2× 1} = 220$.

3. 若 $A_{m}^{3} = 6 C_{m}^{4}$，则 $m$ 等于 (C)

A.9
B.8
C.7
D.6

答案： 3.C 因为$ A_{m}^{3} = 6 C_{m}^{4}$，
所以$m(m - 1)(m - 2) = 6×\frac{m(m - 1)(m - 2)(m - 3)}{4× 3× 2× 1}$
即$1 = \frac{m - 3}{4}$，解得$m = 7$.

4. 不等式 $C_{10}^{n-3} ＜ C_{10}^{n-2}$ 的解为 $n = 3,4,5,6,7$。

答案： 4.$n = 3,4,5,6,7$ 由题意知$3\leq n\leq12$，且$n\in \mathbf{N}^*$，
由题意得$\frac{10!}{(n - 3)!(13 - n)!} ＜ \frac{10!}{(n - 2)!(12 - n)!}$
解得$n ＜ 7.5$，所以$n = 3,4,5,6,7$.

5. 4 名同学到 $A,B,C$ 三个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，且同学甲安排在 $A$ 小区，则共有12种不同的安排方案。

答案： 5.12 分两类：
(1)A小区安排$2$人(同学甲及另一名同学)：$ C_{3}^{2} A_{2}^{2} = 6$.
(2)A小区只安排同学甲$1$人：$ C_{3}^{2} A_{2}^{2} = 6$，
根据分类加法计数原理可得$6 + 6 = 12$(种).