《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例1. 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆$9x^{2} + 4y^{2} = 36$短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为$3$，求抛物线的方程.
[分析] 先确定椭圆短轴所在的坐标轴，再利用抛物线的几何性质可求.

答案： 椭圆$9x^{2} + 4y^{2} = 36$可化为$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$,则抛物线对称轴为x轴,设抛物线方程为$y^{2} = ax(a \neq 0)$,又抛物线焦点到顶点的距离为3,则有$\left| \frac{a}{4} \right| = 3,\therefore a = \pm 12$,故所求抛物线方程为$y^{2} = 12x$或$y^{2} = -12x$.

分别求适合下列条件的抛物线方程.
(1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点$A(2,3)$；
(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为$\frac{5}{2}$.

答案：
(1)由题意,方程可设为$y^{2} = mx$或$x^{2} = ny$,将点$A(2,3)$的坐标代入,得$3^{2} = m × 2$或$2^{2} = n × 3$,
$\therefore m = \frac{9}{2}$或$n = \frac{4}{3}$.
$\therefore$所求的抛物线方程为$y^{2} = \frac{9}{2}x$或$x^{2} = \frac{4}{3}y$.
(2)由焦点到准线的距离为$\frac{5}{2}$,可知$p = \frac{5}{2}$.
$\therefore$所求抛物线方程为$y^{2} = 5x$或$y^{2} = -5x$或$x^{2} = 5y$或$x^{2} = -5y$.

例2. 斜率为$2$的直线经过抛物线$y^{2} = 4x$的焦点，与抛物线相交于两点$A$、$B$，求线段$AB$的长.

答案：
如图,由抛物线的标准方程可知,焦点$F(1,0)$,准线方程$x = -1$.
由题设,直线$AB$的方程为:$y = 2x - 2$.
代入抛物线方程$y^{2} = 4x$,整理得:$x^{2} - 3x + 1 = 0$.
设$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$,由抛物线定义可知,$|AF|$等于点$A$到准线$x = -1$的距离$|AA'|$,
即$|AF| = |AA'| = x_{1} + 1$,同理$|BF| = x_{2} + 1$,
$\therefore |AB| = |AF| + |BF| = x_{1} + x_{2} + 2 = 3 + 2 = 5$.