《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

有一张长为$8$，宽为$4$的矩形纸片$ABCD$，按如图所示方式进行折叠，使每次折叠后点$B$都落在$AD$边上，此时将$B$记为$B'$（注：图中$EF$为折痕，点$F$也可落在边$CD$上）. 过$B'$作$B'T// CD$，交$EF$于点$T$，求点$T$的轨迹方程.

答案：
对点训练4:如图所示,以边$AB$的中点$O$为原点,$AB$边所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系,则$B(0,-2)$.
连接$BT$,由题意可知$|BT|=|B'T|,B'T \perp AD$,根据抛物线的定义,点$T$的轨迹是以点$B$为焦点,以$AD$为准线的抛物线的一部分.
设$T(x,y)$,又$|AB| = 4$,
即定点$B$到定直线$AD$的距离为$4$,$\therefore$抛物线方程为$x^{2}=-8y$.
由题意可知,线段$AB'$的长度$|AB'|$在区间$[0,4]$内变化,而$x = |AB'|$,$\therefore 0 \leqslant x \leqslant 4$.
故点$T$的轨迹方程为$x^{2}=-8y(0 \leqslant x \leqslant 4)$.

例 5. 设抛物线$y^{2}=mx$的准线与直线$x = 1$的距离为$3$，求抛物线的方程.
[错解] 准线方程为$x = - \frac{m}{4}$，
因为准线与直线$x = 1$的距离为$3$，
所以准线方程为$x = - 2$，所以$- \frac{m}{4} = - 2$，所以$m = 8$，
故抛物线方程为$y^{2}=8x$.
[辨析] 题目条件中未给出$m$的符号，当$m ＞ 0$或$m ＜ 0$时，抛物线的准线是不同，错解考虑问题欠周到.
[正解]

答案： 例5:当$m ＞ 0$时,准线方程为$x=-\frac{m}{4}$,由条件知$1-(-\frac{m}{4})=3$,所以$m = 8$.
此时抛物线方程为$y^{2}=8x$;
当$m ＜ 0$时,准线方程为$x=-\frac{m}{4}$,由条件知$-\frac{m}{4}-1=3$,所以$m = -16$,此时抛物线方程为$y^{2}=-16x$.
所以所求抛物线方程为$y^{2}=8x$或$y^{2}=-16x$.

1. 抛物线$y^{2}=8x$的准线方程为

A.$y = - 2$
B.$x = 4$
C.$x = - 2$
D.$x = 2$

答案： 1.C 抛物线$y^{2}=8x$的准线方程为$x=-2$,故选C.

2. 若动点$P$到定点$F( - 4,0)$的距离与到直线$x = 4$的距离相等，则$P$点的轨迹是

A.抛物线
B.线段
C.直线
D.射线

答案： 2.A 动点$P$的条件满足抛物线的定义.

3. 一动圆过点$(0,1)$且与定直线$l$相切，圆心在抛物线$x^{2}=4y$上，则$l$的方程为

A.$x = 1$
B.$x=\frac{1}{16}$
C.$y = - 1$
D.$y = - \frac{1}{16}$

答案： 3.C 因为动圆过点$(0,1)$且与定直线$l$相切,所以动圆圆心到点$(0,1)$的距离与到定直线$l$的距离相等,又因为动圆圆心在抛物线$x^{2}=4y$上,且$(0,1)$为抛物线的焦点,所以$l$为抛物线的准线,所以$l:y=-1$.

4. ($2024·$上海卷) 已知抛物线$y^{2}=4x$上有一点$P$到准线的距离为$9$，那么点$P$到$x$轴的距离为$4\sqrt{2}$.

答案： 4.$4\sqrt{2}$ 由$y^{2}=4x$知抛物线的准线方程为$x=-1$,设点$P(x_{0},y_{0})$,
由题意得$x_{0}+1=9$,解得$x_{0}=8$,
代入抛物线方程$y^{2}=4x$,得$y_{0}^{2}=32$,解得$y_{0}= \pm 4\sqrt{2}$,
则点$P$到$x$轴的距离为$4\sqrt{2}$.

5. 已知抛物线的焦点是双曲线$16x^{2}-9y^{2}=144$的左顶点，求抛物线的标准方程.

答案： 5.
(1)双曲线方程可化为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$,左顶点为$(-3,0)$,
由题意设抛物线方程为$y^{2}=-2px(p＞0)$且$-\frac{p}{2}=-3$,
$\therefore p = 6,\therefore$抛物线的方程为$y^{2}=-12x$.