《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

知识点 1 椭圆的定义
1. 椭圆的定义
平面内与两个定点 $ F_1,F_2 $ 的距离的和等于常数(大于$|F_1F_2|$)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆. 这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
2. 椭圆定义的集合语言表示
设椭圆上任一点 $ M $ 到两焦点距离之和为常数 $ 2a $，则点 $ M $ 所满足的集合为 $ P = $$\vert MF_1\vert+\vert MF_2\vert=2a(2a＞\vert F_1F_2\vert)$.
3. 对椭圆定义的理解
(1) 要注意椭圆定义中的限制条件：到两定点距离之和大于两定点的距离 $ |F_1F_2| $.
(2) 两种特殊情况：当 $ 2a = |F_1F_2| $ 时轨迹是线段$F_1F_2$；当 $ 2a ＜ |F_1F_2| $ 时无轨迹.

答案： 知识点1 1.常数(大于$\vert F_1F_2\vert$) 焦点 焦距
2.$\vert MF_1\vert+\vert MF_2\vert=2a(2a＞\vert F_1F_2\vert)$
3.
(2)线段$F_1F_2$ 无轨迹

知识点 2 椭圆的标准方程
(1) 椭圆标准方程的比较

(2) 由标准方程判断焦点的位置的方法
看 $ x^2,y^2 $ 的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上.
(3) $ a,b,c $ 关系的再认识
标准方程中涉及三个常数 $ a,b,c $，它们是确定椭圆特征的重要元素，不随方程形式的改变而改变，它们之间的关系为 $ a^2 = b^2 + c^2 $.

答案： 知识点2
(1)$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$ ；$F_1(0,-c)$，$F_2(0,c)$ ，$a^2=b^2+c^2$