《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例4. 自点 $A(-3, 3)$ 发出的光线 $l$ 射到 $x$ 轴上, 被 $x$ 轴反射, 其反射光线所在的直线与圆 $C: x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0$ 相切, 求光线 $l$ 所在的直线方程.

答案：
例4：将圆$C$的方程化为标准方程，可得圆$C$：$(x - 2)^{2} +(y - 2)^{2} = 1$，它关于$x$轴对称的圆$C'$方程为$(x - 2)^{2} + (y + 2)^{2}= 1$，其圆心为$C'(2,-2)$，如图所示，则$l$与圆$C'$相切。

设$l:y - 3 = k(x + 3)$，即$kx - y + 3 + 3k = 0$，所以点$C'$到$l$的距离$d =\frac{|5k + 5|}{\sqrt{1 + k^{2}}} = 1$，整理得$12k^{2} + 25k + 12 = 0$，解得$k = -\frac{3}{4}$或$k = -\frac{4}{3}$，所以所求直线方程为$y - 3 = -\frac{3}{4}(x + 3)$，或$y - 3 =-\frac{4}{3}(x + 3)$，即$3x + 4y - 3 = 0$或$4x + 3y + 3 = 0$。

例5. (多选题) 关于 $x$ 的方程 $\sqrt{1 - x^2} + x + m = 0$ 解的情况, 下列叙述正确的是 (ABC)

A.当 $m \in (1, +\infty)$ 时, 原方程无解
B.当 $m \in [0, 1)$ 时, 原方程只有一解
C.若原方程无解, 则 $m \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (1, +\infty)$
D.若原方程恰有一解, 则 $m \in [-1, 1) \cup \{ -\sqrt{2} \}$

答案：
例5：$ABC$由$\sqrt{1 - x^{2}} + x + m = 0$得$\sqrt{1 - x^{2}} = -x - m$，则关于$x$的方程$\sqrt{1 - x^{2}} + x + m = 0$解的个数，等价于函数$y =\sqrt{1 - x^{2}}$和$y = -x - m$的图象交点个数，对于函数$y =\sqrt{1 - x^{2}}\geq 0$，两边平方得$x^{2} + y^{2} = 1$，则函数$y =\sqrt{1 - x^{2}}$的图象表示圆$x^{2} + y^{2} = 1$的上半圆，如图所示。

当直线$y = -x - m$与函数$y =\sqrt{1 - x^{2}}$的图象相切于第一象限时，$-m ＞ 0$，则$m ＜ 0$，此时，$\frac{|m|}{\sqrt{2}} = 1,\because m ＜ 0$，解得$m =-\sqrt{2}$，此时直线$y = -x - m$交$y$轴于点$(0,\sqrt{2})$；当直线$y = -x - m$过点$(1,0)$和$(0,1)$时，$-m = 1$，则$m = -1$；当直线$y = -x - m$过点$(-1,0)$时，$1 - m = 0$，则$m = 1$，此时直线$y = -x - m$交$y$轴于点$(0,-1)$。由图象可知，当$-m =\sqrt{2}$或$-1\leq -m ＜ 1$时，即当$m = -\sqrt{2}$或$-1 ＜ m\leq 1$时，直线$y = -x - m$与函数$y =\sqrt{1 - x^{2}}$的图象有且只有一个交点，$B$选项正确；$D$选项错误；当$-m ＞\sqrt{2}$或$-m ＜ -1$时，即当$m ＜ -\sqrt{2}$或$m ＞ 1$时，直线$y = -x - m$与函数$y =\sqrt{1 - x^{2}}$的图象没有交点，$ABC$选项正确。

例6. 已知圆 $x^2 + y^2 - 6x = 0$, 过点 $(1, 2)$ 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 (B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 例6：将圆的方程$x^{2} + y^{2} - 6x = 0$化为标准方程$(x - 3)^{2} +y^{2} = 9$，设圆心为$C$，则$C(3,0)$，半径$r = 3$。设点$(1,2)$为点$A$，过点$A(1,2)$的直线为$l$，因为$(1 - 3)^{2} + 2^{2} ＜ 9$，所以点$A(1,2)$在圆$C$的内部，则直线$l$与圆$C$必相交，设交点分别为$B,D$。易知当直线$l\bot AC$时，直线$l$被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心$C$到直线$l$的距离为$d$，则$d = |AC| =\sqrt{(3 - 1)^{2} + (0 - 2)^{2}} = 2\sqrt{2}$，所以$|BD|_{ min} =2\sqrt{r^{2} - d^{2}} = 2\sqrt{3^{2} - (2\sqrt{2})^{2}} = 2$，即弦的长度的最小值为$2$，故选$B$。

例7. 已知 $P$ 是圆 $C: (x - 5)^2 + (y - 5)^2 = r^2 (r ＞ 0)$ 上的一个动点, 它关于点 $A(9, 0)$ 的对称点为 $Q$, $O$ 为原点, 线段 $OP$ 绕原点 $O$ 逆时针方向旋转 $90°$ 后, 所得线段为 $OR$, 求 $|QR|$ 的最小值与最大值.

答案：
例7：设点$P$的坐标是$(x,y)$，则点$Q$的坐标是$(18 - x,-y)$。
$\because$线段$OR$是由$OP$绕原点逆时针旋转$90^{\circ}$得到，
$\therefore$由平面几何知识得，点$R$的坐标为$(-y,x)$，
则$|QR| =\sqrt{(18 - x + y)^{2} + (-y - x)^{2}}=\sqrt{2}·\sqrt{(x - 9)^{2} + (y + 9)^{2}}$。
$\because P(x,y)$为圆$(x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = r^{2}$上的点，
$\therefore\sqrt{(x - 9)^{2} + (y + 9)^{2}}$的几何意义为点$M(9,-9)$到圆上的点$P(x,y)$的距离（如图）。

当$|PM|$最小时，$|QR|$也最小；
当$|PM|$最大时，$|QR|$也最大。
又$|PM| = ||MC| - r| = |\sqrt{(9 - 5)^{2} + (-9 - 5)^{2}} - r| =|2\sqrt{53} - r|$，
$|PM|_{ max} = |MC| + r| = 2\sqrt{53} + r$。
$\therefore|QR|_{ min} =\sqrt{2}|2\sqrt{53} - r|,|QR|_{ max} =\sqrt{2}(2\sqrt{53} + r)$。

例8. 现有一艘轮船沿直线返回港口的途中, 接到气象台的台风预报, 台风中心位于轮船正西 $70 km$ 处, 受影响的范围是半径为 $30 km$ 的圆形区域, 已知港口位于台风中心正北 $40 km$ 处, 如果这艘轮船不改变航线, 那么它在返回港口的途中是否会受到台风的影响?

答案：
例8：以台风中心为坐标原点，正东方向为$x$轴正方向，建立平面直角坐标系（如图），则受台风影响的圆形区域的边界的方程为$x^{2} + y^{2} = 30^{2}$，港口所对应的点的坐标为$(0,40)$，轮船的初始位置所对应的点的坐标为$(70,0)$，则轮船航线所在直线$l$的方程为$\frac{x}{70} +\frac{y}{40} = 1$，即$4x + 7y - 280 = 0$，圆心$O(0,0)$到直线$l$：$4x + 7y - 280 = 0$的距离$d =\frac{280}{\sqrt{4^{2} + 7^{2}}} =\frac{280}{\sqrt{65}}$，因为$\frac{280}{\sqrt{65}} ＞ 30$，所以直线$l$与圆相离，故轮船返回港口的途中不会受到台风的影响。