《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

(1) 点 $(1,1,-2)$ 关于 $yOz$ 平面的对称点的坐标是 $(-1,1,-2)$;

答案：
(1)$(-1,1,-2)$点$(1,1,-2)$关于$yOz$平面的对称点的坐标是$(-1,1,-2)$.

(2) 在空间直角坐标系中, 点 $M(-2,4,-3)$ 在 $zOx$ 平面上的射影为 $M'$ 点, 则 $M'$ 关于原点对称点的坐标是 $(2,0,3)$.

答案：
(2)$(2,0,3)M$在$zOx$平面上的射影为$M'(-2,0,-3)$,所以$M'$关于原点对称点的坐标为$(2,0,3)$.

例3. 如图所示, 在长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $|AB|=|AD|=3,|AA_{1}|=2$, 点 $M$ 在 $A_{1}C_{1}$ 上, $|MC_{1}|=2|A_{1}M|$, 点 $N$ 在 $D_{1}C$ 上且为 $D_{1}C$ 的中点, 求线段 $MN$ 的长度.

答案：
如图所示,分别以$AB,AD,AA_1$所在的直线为$x$轴,$y$轴,$z$轴建立空间直角坐标系.

由题意可知$C(3,3,0),D(0,3,0)$,因为$|DD_1|=|CC_1|=|AA_1|=2$,所以$C_1(3,3,2),D_1(0,3,2)$,因为$N$为$CD_1$的中点,所以$N(\frac{3}{2},3,1)$.$M$是$A_1C_1$的三等分点且靠近$A_1$点,所以$M(1,1,2)$.由两点间的距离公式,得$|MN|=\sqrt{(\frac{3}{2}-1)^2+(3-1)^2+(1-2)^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}$.

如图所示, 在直三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中, $|C_{1}C|=|CB|=|CA|=2, AC \perp CB, D,E$ 分别是棱 $AB,B_{1}C_{1}$ 的中点, $F$ 是 $AC$ 的中点, 求 $DE,EF$ 的长度.

答案：
以点$C$为坐标原点,$CA,CB,CC_1$所在直线为$x$轴,$y$轴,$z$轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

因为$|C_1C|=|CB|=|CA|=2$,所以$C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C_1(0,0,2),B_1(0,2,2)$,由中点坐标公式可得,$D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0)$,所以$|DE|=\sqrt{(1-0)^2+(1-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{5}$,$|EF|=\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{6}$.

例4. 已知空间中两点 $A(-3,-1,1), B(-2,2,3)$, 在 $z$ 轴上有一点 $C$, 它到 $A,B$ 两点的距离相等, 求点 $C$ 的坐标.
[错解] 由已知得 $AB$ 的中点坐标为 $\left(-\frac{5}{2}, \frac{1}{2}, 2\right)$, 且 $AB$ 所在直线的斜率为 3 , 故 $AB$ 的垂直平分线的斜率为 $-\frac{1}{3}$, 则垂直平分线的方程为 $z-2=-\frac{1}{3}\left(x+\frac{5}{2}\right)-\frac{1}{3}\left(y-\frac{1}{2}\right)$,
当 $x=y=0$ 时, $z=\frac{4}{3}$, 故点 $C$ 的坐标为 $\left(0,0, \frac{4}{3}\right)$.
[辨析] 上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误. 以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解.
[正解]

答案： 设点$C$的坐标为$(0,0,z)$,则$\sqrt{3^2+1^2+(z-1)^2}=\sqrt{2^2+(-2)^2+(z-3)^2}$,即$10+(z-1)^2=8+(z-3)^2$,解得$z=\frac{3}{2}$,所以点$C$的坐标为$(0,0,\frac{3}{2})$.