《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例1. 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的有多少？
[分析] 根据情况安排个位、十位上的数字。先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得出结论。

答案： 解法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36.
解法二：按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.
解法三：考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决.
所有的两位数共有90个，其中个位数字等于十位数字的两位数为11,22,33，…，99，共9个.个位数字与十位数字不能调换位置的两位数为10,20,30，…，90，共9个.剩余的72个两位数中，将每一个“个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数”的个位数字与十位数字调换位置后，都有一个“个位数字(b)大于十位数字(a)的两位数”与其对应，故满足条件的两位数的个数是72 ÷ 2 = 36.

(1)某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有(B)

A.20 种
B.15 种
C.10 种
D.4 种

答案：
(1)B 若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书，则有4种方法，若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书，则有4种方法，若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书，则有6种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方法，所以不同的赠送方法共有4 + 4 + 6 + 1 = 15（种）.

(2)为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二(1)班的男生38人和女生18人中选取1名学生做代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有56种。

答案：
(2)56 完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生，有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分类加法计数原理，共有N = 38 + 18 = 56(种)不同的选法.

例2. (1)已知 $x \in \{1,2,4\}$，$y \in \{-2,-3,5\}$ 则 $xy$ 可表示不同的值的个数为(B)

A.8
B.9
C.10
D.12

答案：
(1)B $x \in \{ 1,2,4 \}$ $y \in \{ -2, -3,5 \}$，从x中选1个值，从y中选1个值，共有3 × 3 = 9(种)运算结果，且没有相同的运算结果.

(2)一个科技小组中有4名女同学和5名男同学，从中任选1人参加学科竞赛。不同的选派方法共有9种；若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有20种。

答案：
(2)9 20 根据分类加法计数原理知，从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法共有4 + 5 = 9(种)；由分步乘法计数原理知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有4 × 5 = 20(种).

(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人必报一项，共有多少种报名方法？

答案：
(1)要完成的是“4名同学每人从3个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4名同学都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3 × 3 × 3 × 3 = 81(种)报名方法.

(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有多少种可能的结果？

答案：
(2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能由一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军是4名同学中的某一人，有4种可能的情况，于是共有4 × 4 × 4 = 64(种)可能的情况.