《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例2.在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)分别求接收到的信号为0和1的概率;
(2)已知接收到的信号为0,求发送的信号是1的概率.
[分析] 设 $A$ 为“发送的信号为0”, $B$ 为“接收到的信号为0”,为便于求解,我们可将题目中所包含的各种信息用图直观表示.

答案： 例2:设A为“发送的信号为0”，B为“接收到的信号为0”，
则$\overline{A}$为“发送的信号为1”，$\overline{B}$为“接收到的信号为1”.
由题意得$P(A)=P(\overline{A})=0.5，P(B|A)=0.9，P(B|\overline{A})=0.1$，$P(\overline{B}|A)=0.05，P(\overline{B}|\overline{A})=0.95$。
(1)$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=0.5 × 0.9 + 0.5 × 0.05=0.475$；
$P(\overline{B})=1-P(B)=1-0.475=0.525$。
(2)$P(\overline{A}|B)=\frac{P(\overline{A})P(B|\overline{A})}{P(B)}=\frac{0.5 × 0.05}{0.475}=\frac{1}{19}$；

三部自动的机器生产同样的零件,其中机器甲生产的占40%,机器乙生产的占25%,机器丙生产的占35%,已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、5%和1%不合格,现从总产品中随机地抽取一个零件,发现是不合格品,求:
(1)它是由机器甲生产出来的概率;(小数点后保留三位有效数字)
(2)它是由哪一部机器生产出来的可能性大.

答案： 对点训练 2:设$B_{1},B_{2},B_{3}$分别表示事件任取的零件为甲、乙、丙机器生产的，$A$：抽取的零件是不合格品，由条件知，
$P(B_{1}) = 0.40$，$P(B_{2}) = 0.25$，$P(B_{3}) = 0.35$，
$P(A|B_{1}) = 0.10$，$P(A|B_{2}) = 0.05$，$P(A|B_{3}) = 0.01$，
(1) 所求概率为$P(B_{1}|A)$，$P(B_{1}|A)=\frac{P(B_{1})P(A|B_{1})}{\sum_{j = 1}^{3}P(B_{j})P(A|B_{j})}\approx0.714$。
(2) 类似
(1)的计算可得$P(B_{2}|A)\approx0.223$，$P(B_{3}|A)\approx0.063$，比较可知是机器甲生产出来的可能性大。