《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=4,|b|=2$,且 $a$ 在 $b$ 方向上的投影数量与 $b$ 在 $a$ 方向上的投影数量相等,则 $|a-b|$ 等于
(B)

A.1
B.$2\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}$
D.3

答案： 对点训练6：B 因为$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$方向上的投影数量与$\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}$方向上的投影数量相等，
设这两个向量的夹角为$\theta$，
则$|\boldsymbol{a}|\cos\theta = |\boldsymbol{b}|\cos\theta$，即$4\cos\theta = 2\cos\theta$，解得$\theta = \frac{\pi}{2}$，
所以$|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})^{2}} = \sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2} - 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^{2}} = 2\sqrt{5}$. 故选B.

例7. 已知空间四边形 $ABCD$ 的四条边和对角线长都为 $a$,点 $E,F,G$ 分别是 $AB,AD,DC$ 的中点,则下列四个数量积中结果为 $a^{2}$ 的序号有②.

① $2\overrightarrow{BA}· \overrightarrow{AC}$;② $2\overrightarrow{AD}· \overrightarrow{BD}$;③ $2\overrightarrow{GF}· \overrightarrow{AC}$;④ $2\overrightarrow{EF}· \overrightarrow{CB}$.
[错解] 如图, $2\overrightarrow{BA}· \overrightarrow{AC}=2|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{AC}|· \cos 60^{\circ }=2a· a\cos 60^{\circ }=a^{2}$;
$2\overrightarrow{AD}· \overrightarrow{BD}=2|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BD}|· \cos 60^{\circ }=2a· a\cos 60^{\circ }=a^{2}$;
$2\overrightarrow{GF}· \overrightarrow{AC}=2|\overrightarrow{GF}||\overrightarrow{AC}|\cos 0^{\circ }=2· \frac{a}{2}· a\cos 0^{\circ }=a^{2}$;
$2\overrightarrow{EF}· \overrightarrow{CB}=2|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{CB}|\cos 60^{\circ }=2· \frac{a}{2}· a\cos 60^{\circ }=\frac{a^{2}}{2}$.
故结果为 $a^{2}$ 的式子的序号有①②③.
[辨析] 本题错误的原因在于对两个向量夹角的概念理解不清,两个向量必须是首首相接或尾尾相连时,所成的角才是它们的夹角. 对于平行向量要看它们的方向是相同的还是相反的,若是相同的,则夹角为 $0^{\circ }$;若是相反的,则夹角为 $180^{\circ }$. 而上述解答没有考虑向量的方向,把异面直线所成角当作向量夹角,显然是错误的.
[正解]

答案：
例7：② 如图，$2\overrightarrow{BA} · \overrightarrow{AC} = 2|\overrightarrow{BA}| · |\overrightarrow{AC}| · \cos 120^{\circ} = -a^{2}$；
$2\overrightarrow{AD} · \overrightarrow{BD} = 2|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BD}|\cos 60^{\circ} = 2a · a · \cos 60^{\circ} = a^{2}$；
$2\overrightarrow{GF} · \overrightarrow{AC} = 2|\overrightarrow{GF}||\overrightarrow{AC}|\cos 180^{\circ} = 2 · \frac{a}{2} · a\cos 180^{\circ} = -a^{2}$；
$2\overrightarrow{EF} · \overrightarrow{CB} = 2|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{CB}|\cos 120^{\circ} = 2 · \frac{a}{2} · a\cos 120^{\circ} = -\frac{a^{2}}{2}$.

故结果为$a^{2}$的式子的序号是②.

1. 在正四面体 $ABCD$ 中, $\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 的夹角等于
(D)

A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： 1. D 由正四面体每个面都是正三角形可知，$\langle\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}\rangle = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$，故选D.

2. 如图,在四棱柱的上底面 $ABCD$ 中, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$,则下列向量相等的是
(D)


A.$\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{CB}$
B.$\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OC}$
C.$\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{DB}$
D.$\overrightarrow{DO}$ 与 $\overrightarrow{OB}$

答案： 2. D 因为$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$，所以四边形$ABCD$为平行四边形.
所以$\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{OB},\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC},\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CO}$.

3. 已知 $O,A,B$ 是平面上的三个点,直线 $AB$ 上有一点 $C$,满足 $2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\mathbf{0}$,则 $\overrightarrow{OC}$ 等于
(A)

A.$2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$
B.$-\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$
C.$\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$
D.$-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

答案： 3. A 因为$2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = 0$，所以$\overrightarrow{CB} = -2\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{CA}$，则$\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OA}$，故$\overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$.

4. 下列各命题中,假命题的个数为
(A)
① $\sqrt{a· a}=|a|$;
② $m(\lambda a)· b=(m\lambda )a· b(m,\lambda \in \mathbf{R})$;
③ $a· (b+c)=(b+c)· a$;
④ $a^{2}b=b^{2}a(a,b$ 不共线).

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 4. A $\because \boldsymbol{a} · \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}|^{2}$，$\therefore \sqrt{\boldsymbol{a} · \boldsymbol{a}} = |\boldsymbol{a}|$，故①正确.
$m(\lambda\boldsymbol{a}) · \boldsymbol{b} = (m\lambda)\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} · (m\lambda)\boldsymbol{b} = (m\lambda)\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}$，故②正确.
$\boldsymbol{a} · (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} · \boldsymbol{c} = \boldsymbol{b} · \boldsymbol{a} + \boldsymbol{c} · \boldsymbol{a} = (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) · \boldsymbol{a}$，故③正确.
$\boldsymbol{a}^{2}\boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}|^{2}\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}^{2}\boldsymbol{a} = |\boldsymbol{b}|^{2}\boldsymbol{a}$，又$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$不共线，故④不正确.

5. 已知 $|a|=1,|b|=\sqrt{2}$,且 $a-b$ 与 $a$ 垂直,则 $a$ 与 $b$ 的夹角为
(B)

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： 5. B $\because \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}$垂直，$\therefore (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) · \boldsymbol{a} = 0$，$\therefore \boldsymbol{a} · \boldsymbol{a} - \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}|^{2} - |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = 1 - 1 × \sqrt{2} × \cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = 0$，$\therefore \cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\because 0^{\circ} \leq \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle \leq 180^{\circ}$，$\therefore \langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = 45^{\circ}$.