《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例3.$F_{1},F_{2}$为椭圆的两个焦点,过$F_{2}$的直线交椭圆于$P,Q$两点,$PF_{1}\perp PQ$且$|PF_{1}|=|PQ|$,求椭圆的离心率.
[分析] 由题目可获取以下主要信息:①已知椭圆上两点与焦点连线的几何关系.②求椭圆的离心率.解答本题的关键是把已知条件化为$a,b,c$之间的关系.

答案：
例3:如图所示，设$|PF_{1}| = m$，则$|PQ| = m,|F_{1}Q| = \sqrt{2}m$。由椭圆定义得$|PF_{1}| + |PF_{2}| = |QF_{1}| + |QF_{2}| = 2a$。
所以$|PF_{1}| + |PQ| + |F_{1}Q| = 4a$。
即$(\sqrt{2} + 2)m = 4a$。所以$m = (4 - 2\sqrt{2})a$。
又$|PF_{2}| = 2a - m = (2\sqrt{2} - 2)a$。在$ Rt\triangle PF_{1}F_{2}$中，
$|PF_{1}|^{2} + |PF_{2}|^{2} = |F_{1}F_{2}|^{2}$。
即$(2\sqrt{2} - 2)^{2}a^{2} + (4 - 2\sqrt{2})^{2}a^{2} = 4c^{2}$。
所以$\frac{c^{2}}{a^{2}} = 9 - 6\sqrt{2} = 3( \sqrt{2} - 1 )^{2}=3(3-2\sqrt{2})$。因此$e = \sqrt{3( \sqrt{2} - 1 )} =\sqrt{6}-\sqrt{3}$。

已知点$F_{1},F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点,过$F_{1}$且垂直于$x$轴的直线与椭圆交于$A,B$两点,若$\triangle ABF_{2}$为正三角形,则该椭圆的离心率$e$是 (D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 对点训练3:$D$ 把$x = -c$代入椭圆的方程可得$y = \pm \frac{b^{2}}{a}$，
$\therefore |AF_{1}| = \frac{b^{2}}{a}$，由$\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{|AF_{1}|}{|F_{1}F_{2}|} = \frac{\frac{b^{2}}{a}}{2ac} = \frac{b^{2}}{2ac}$，
化简得$3e^{2} + 2\sqrt{3}e - 3 = 0$，
解得$e = - \sqrt{3}$(舍去)，或$e = \frac{\sqrt{3}}{3}$，故选$D$。

例4.$P(1,1)$为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$内一定点,经过$P$引一弦,使此弦在$P$点被平分,求此弦所在的直线方程.
[分析] 本题涉及弦的中点,属于中点弦问题,采用点差法求解较简便.

答案： 例4:解法一:易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为$y - 1 = k(x - 1)$，弦的两端点为$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，
由$\begin{cases} y - 1 = k(x - 1), \\ \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1 \end{cases}$消去$y$得，
$(2k^{2} + 1)x^{2} - 4k(k - 1)x + 2(k^{2} - 2k - 1) = 0$，
$\therefore x_{1} + x_{2} = \frac{4k(k - 1)}{2k^{2} + 1}$，
又$\because x_{1} + x_{2} = 2,\therefore \frac{4k(k - 1)}{2k^{2} + 1} = 2$，得$k = - \frac{1}{2}$。故弦所在直线方程为$y - 1 = - \frac{1}{2}(x - 1)$，即$x + 2y - 3 = 0$。
解法二:由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为$k$，且设弦的两端点坐标为$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$，
则$\frac{x_{1}^{2}}{4} + \frac{y_{1}^{2}}{2} = 1,\frac{x_{2}^{2}}{4} + \frac{y_{2}^{2}}{2} = 1$，两式相减得
$\frac{(x_{1} + x_{2})(x_{1} - x_{2})}{4} + \frac{(y_{1} + y_{2})(y_{1} - y_{2})}{2} = 0$，
$\because x_{1} + x_{2} = 2,y_{1} + y_{2} = 2$，
$\therefore \frac{x_{1} - x_{2}}{2} + (y_{1} - y_{2}) = 0,\therefore k = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = - \frac{1}{2}$。
$\therefore$此弦所在直线方程为$y - 1 = - \frac{1}{2}(x - 1)$，
即$x + 2y - 3 = 0$。