《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

已知椭圆$C_{1}:\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1$,设椭圆$C_{2}$与椭圆$C_{1}$的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆$C_{2}$的焦点在$y$轴上.
(1)求椭圆$C_{1}$的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆$C_{2}$的方程,并写出它的长轴长,短轴长,离心率.

答案： 对点训练1:
(1)由椭圆$C_{1}:\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$，
可得其长半轴长为$10$，短半轴长为$8$，焦点坐标为$(6,0)$，$(-6,0)$，离心率$e = \frac{3}{5}$。
(2)椭圆$C_{2}:\frac{y^{2}}{100} + \frac{x^{2}}{64} = 1$。它的长轴长是$20$，短轴长是$16$，离心率是$e = \frac{3}{5}$。

例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)椭圆过点$(3,0)$,离心率$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$;
(2)在$x$轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.
[分析] 1.求椭圆的标准方程要先确定椭圆的焦点位置,不能确定的要分情况讨论,然后设出标准方程,再用待定系数法确定$a,b,c$.
2.(1)中由离心率$e=\frac{c}{a}$,及$a^{2}=b^{2}+c^{2}$可知椭圆的标准方程中只有一个待定系数,再由过点$(3,0)$可求之.
(2)设短轴端点为$A,F$为一个焦点,由条件知$\triangle OAF$为等腰直角三角形,于是$a,b,c$可求之.

答案：
例2:
(1)若焦点在$x$轴上，则$a = 3$，
$\because e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}$，$\therefore c = \sqrt{6},\therefore b^{2} = a^{2} - c^{2} = 9 - 6 = 3$。
$\therefore$椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$。
若焦点在$y$轴上，则$b = 3$，
$\because e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{a^{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$，解得$a^{2} = 27$。
$\therefore$椭圆的方程为$\frac{y^{2}}{27} + \frac{x^{2}}{9} = 1$。
综上可知椭圆方程为$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$或$\frac{y^{2}}{27} + \frac{x^{2}}{9} = 1$。
(2)设椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$。
如图所示，$\triangle A_{1}FA_{2}$为等腰直角三角形，
$OF$为斜边$A_{1}A_{2}$的中线(高)，
且$|OF| = c,|A_{1}A_{2}| = 2b$，

$\therefore c = b = 4,\therefore a^{2} = b^{2} + c^{2} = 32$，
故所求椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{32} + \frac{y^{2}}{16} = 1$。

已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为$\frac{1}{3}$,长轴长为12,则椭圆方程为 (C)

A.$\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{128}=1$或$\frac{x^{2}}{128}+\frac{y^{2}}{144}=1$
B.$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{4}=1$
C.$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{32}=1$或$\frac{x^{2}}{32}+\frac{y^{2}}{36}=1$
D.$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{6}=1$或$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{4}=1$

答案： 对点训练2:$C$ 由条件知$a = 6,e = \frac{c}{a} = \frac{1}{3}$，
$\therefore c = 2$，
$\therefore b^{2} = a^{2} - c^{2} = 32$，故选$C$。