《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例1. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下:

(1) 求 $m$ 的值;
(2) 求 $EX$;
(3) 若 $Y = 2X - 3$, 求 $EY$.

答案： $(1) \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + m + \frac{1}{20} = 1,$解得$m = \frac{1}{6}$
$(2) EX = -2 × \frac{1}{4} -1 × \frac{1}{3} + 0 × \frac{1}{5} + 1 × \frac{1}{6} + 2 × \frac{1}{20} = - \frac{17}{30}$
(3) 若Y = 2X - 3，$EY = 2EX - 3 = -2 × \frac{17}{30} - 3 = - \frac{62}{15}$

(1) 一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为 $\xi$, 则 $P(\xi = 0) = $$\frac{1}{3}$; $E\xi = $1.

答案： 对点训练$1:(1)\frac{1}{3} 1 $由题知,随机取出红球的概率为$\frac{1}{4},$随机取出绿球的概率为$\frac{1}{4},$随机取出黄球的概率为$\frac{1}{3},\xi$的取值情况共有$0,1,2,P(\xi = 0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} × \frac{1}{3} × \frac{1}{3},·s（$原稿此部分不完整，按规则原样识别$）P(\xi = 1) = \frac{1}{2} × \frac{1}{3} + \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{3},P(\xi = 2) = \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} × \frac{1}{3} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{3},$所以
$E\xi = 1 × \frac{1}{3} + 2 × \frac{1}{3} = 1。$

(2) 已知随机变量 $X$ 的分布列如表:

若 $\xi = aX + 3$, 且 $E\xi = 5$, 则 $a$ 的值为 15.

答案：
(2)15 由随机变量分布列的性质,得31​+51​+m=1,解得m=157​。EX=(−1)×31​+0×51​+1×157​=152​
因为Eξ=E(aX+3)=aEX+3=152​a+3=5,所以a = 15。