《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 已知向量$a = (-2, -3, 1)$，$b = (2, 0, 4)$，$c = (-4, -6, 2)$，则下列结论正确的是 (C)

A.$a \perp c$，$b \perp c$
B.$a // b$，$a \perp c$
C.$a // c$，$a \perp b$
D.以上都不对

答案： 1.C a·b=(-2,-3,1)·(2,0,4)= -4 + 0 + 4 = 0，所以a⊥b。
a=(-2,-3,1),c=(-4,-6,2),c = 2a,所以a//c。
b·c=(2,0,4)·(-4,-6,2)= -8 + 0 + 8 = 0，所以b⊥c，故选C。

2. 如图，棱长为$1$的正方体，$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$\overrightarrow{DA} · \overrightarrow{BD_1}$的值为 (B)

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案：
2.B 以点D为原点，DA,DC,DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图
　　　　　　　　　　　　
所示空间直角坐标系，则A(1,0,0)，
D(0,0,0),B(1,1,0),D₁(0,0,1)，故$\overrightarrow{DA}=(1,0,0),\overrightarrow{BD₁}=(-1,-1,1)$，则$\overrightarrow{DA}·\overrightarrow{BD₁}=-1$，故选B。

3. 已知向量$a = (1, 3, 0)$，$b = (2, 1, 1)$，则向量$a$在向量$b$上的投影向量$c =$ (B)

A.$\left( \frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \right)$
B.$\left( \frac{5}{3}, \frac{5}{6}, \frac{5}{6} \right)$
C.$\left( \frac{5}{4}, \frac{5}{8}, \frac{5}{8} \right)$
D.$(2, 4, 4)$

答案： 3.B 向量a=(1,3,0),b=(2,1,1)，
a·b=1×2 + 3×1 + 0×1 = 5，|b| = $\sqrt{2²+1²+1²}=\sqrt{6}$，所以
向量a在向量b上的投影向量$c=\frac{a·b}{|b|²}\overrightarrow{b}=\frac{5}{6}\overrightarrow{b}=(\frac{5}{3},\frac{5}{6},\frac{5}{6})$。 故选B。

4. 已知$a = (2, -3, 0)$，$b = (k, 0, 3)$，$\langle a, b \rangle = 120°$，则$k =$ -√39.

答案： 4.-$\sqrt{39}$
∵a·b = 2k,|a| = $\sqrt{13}$,|b| = $\sqrt{k² + 9}$，
∴$\cos120°=\frac{2k}{\sqrt{13}×\sqrt{k² + 9}}$，
∴k = -$\sqrt{39}$。

5. 已知$a = (2, -1, 3)$，$b = (-1, 4, -2)$，$c = (7, 7, \lambda)$，若$a$，$b$，$c$共面，则实数$\lambda =$ 9.

答案： 5.9 若a,b,c共面，
∴c = xa + yb，
∴$\begin{cases}2x - y = 7\\-x + 4y = \lambda\end{cases}$，解得$\lambda = 9$。