《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例3. 设$F_1,F_2$是双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)$的两个焦点，$P$是$C$上一点，若$\vert PF_1\vert + \vert PF_2\vert = 6a$，且$\triangle PF_1F_2$的最小内角为$30^{\circ}$，则$C$的离心率为$\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$
∵$F_1,F_2$是双曲线的两个焦点,$P$是双曲线上一点,且满足$|PF_1| + |PF_2| =6a$,
设$P$是双曲线右支上的一点,$F_1$为左焦点,由双曲线的定义可知$|PF_1| - |PF_2| =2a$,
∴$|F_1F_2| =2c,|PF_1| =4a,|PF_2| =2a$,
∵$\triangle PF_1F_2$的最小内角$\angle PF_1F_2 =30^{\circ}$,
由余弦定理$|PF_2|^2 =|F_1F_2|^2 + |PF_1|^2 -2|F_1F_2||PF_1|·\cos\angle PF_1F_2$,
即$4a^2 =4c^2 +16a^2 -2c×4a×\sqrt{3}$,
∴$c^2 -2\sqrt{3}ac +3a^2 =0$,
∴$c =\sqrt{3}a$,
∴$e =\frac{c}{a} =\sqrt{3}$.

已知$F_1,F_2$是双曲线$C$的两个焦点，$P$为$C$上一点，且$\angle F_1PF_2 = 60^{\circ}$，$\vert PF_1\vert = 3\vert PF_2\vert$，则$C$的离心率为 (A)

A.$\frac{\sqrt{7}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{13}}{2}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{13}$

答案： A 设$|PF_1| =m$,则$|PF_1| =3m$.
$|F_1F_2| =\sqrt{m^2 +9m^2 -2×3m× m×\cos60^{\circ}} =\sqrt{7}m$,
∴双曲线$C$的离心率$e =\frac{c}{a} =\frac{\frac{|F_1F_2|}{2}}{\frac{|PF_1| - |PF_2|}{2}} =\frac{\frac{\sqrt{7}m}{2}}{2m} =\frac{\sqrt{7}}{2}$.

例4. 已知双曲线的方程为$x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$.
试问：是否存在被点$B(1,1)$平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由.
[分析] 不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾斜角不可能是$90^{\circ}$.

答案： 例4:解法一:设被$B(1,1)$所平分的弦所在的直线方程为$y =k(x -1) +1$,代入双曲线方程$x^2 - \frac{y^2}{4} =1$,得$(k^2 -4)x^2 -2k(k -1)x +k^2 -2k +5 =0$.
∴$\Delta =[-2k(k -1)]^2 -4(k^2 -4)(k^2 -2k +5)＞0$.
解得$k ＜\frac{5}{2}$,且$x_1 +x_2 =\frac{2k(k -1)}{k^2 -4}$.
∵$B(1,1)$是弦的中点,
∴$\frac{k(k -1)}{k^2 -4} =1$,
∴$k =\frac{4}{5}＞\frac{5}{2}$
故不存在被点$B(1,1)$所平分的弦.
解法二:设存在被点$B$平分的弦$MN$,设$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$.
则$x_1 +x_2 =2,y_1 +y_2 =2$,$\begin{cases} \frac{x_1^2}{1} - \frac{y_1^2}{4} =1, &①\\ \frac{x_2^2}{1} - \frac{y_2^2}{4} =1. &②\end{cases}$
① - ②得$(x_1 +x_2)(x_1 -x_2) - \frac{1}{4}(y_1 +y_2)(y_1 -y_2) =0$.
∴$k_{MN} =\frac{y_1 -y_2}{x_1 -x_2} =4$,故直线$MN:y -1 =4(x -1)$.
由$\begin{cases} y -1 =4(x -1), \\ x^2 - \frac{y^2}{4} =1. \end{cases}$消去$y$得,$12x^2 -24x +13 =0$,
$\Delta = -48＜0$.
这说明直线$MN$与双曲线不相交,故被点$B$平分的弦不存在.

过点$P(8,1)$的直线与双曲线$x^{2} - 4y^{2} = 4$相交于$A$、$B$两点，且$P$是线段$AB$的中点，则直线$AB$的方程为$2x - y -15 =0$

答案： $2x - y -15 =0$ 设$A、B$坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$,则
$x_1^2 -4y_1^2 =4$, ①
$x_2^2 -4y_2^2 =4$, ②
① - ②得$(x_1 +x_2)(x_1 -x_2) -4(y_1 +y_2)(y_1 -y_2) =0$,
∵$P$是线段$AB$的中点,
∴$x_1 +x_2 =16,y_1 +y_2 =2$,
∴$\frac{y_1 -y_2}{x_1 -x_2} =\frac{x_1 +x_2}{4(y_1 +y_2)} =2$.
∴直线$AB$的斜率为$2$,
∴直线$AB$的方程为$2x - y -15 =0$.

例5. 已知双曲线的渐近线方程是$y = \pm \frac{2}{3}x$，焦距为$2\sqrt{26}$，则双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{18} - \frac{y^2}{8} =1$或$\frac{y^2}{8} - \frac{x^2}{18} =1$.
[错解] 设双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，
$\therefore$由题意得$\begin{cases} \frac{b}{a} = \frac{2}{3} \\c^{2} = a^{2} + b^{2} = 26 \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} a^{2} = 18 \\b^{2} = 8 \end{cases}$
$\therefore$双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{18} - \frac{y^{2}}{8} = 1$.
[辨析] 忽略对焦点所在轴的讨论，误认为一定在$x$轴上，导致漏解.
[正解]
[误区警示] 解本题时容易未审清题目条件，而误认为焦点一定在$x$轴上，从而导致漏解.

答案： $\frac{x^2}{18} - \frac{y^2}{8} =1$或$\frac{y^2}{8} - \frac{x^2}{18} =1$ 当双曲线的焦点在$x$轴上时,由题意知$\begin{cases} \frac{b}{a} =\frac{2}{3}, \\ c^2 =a^2 +b^2 =26, \end{cases}$解得$\begin{cases} a^2 =18, \\ b^2 =8, \end{cases}$所以所求双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{18} - \frac{y^2}{8} =1$.
当双曲线的焦点在$y$轴上时,由$\begin{cases} \frac{a}{b} =\frac{2}{3}, \\ c^2 =a^2 +b^2 =26, \end{cases}$解得$\begin{cases} b^2 =18, \\ a^2 =8, \end{cases}$所以所求双曲线的标准方程为$\frac{y^2}{8} - \frac{x^2}{18} =1$.故所求双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{18} - \frac{y^2}{8} =1$或$\frac{y^2}{8} - \frac{x^2}{18} =1$.