《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动,记事件 $A$ 为“四名同学所选项目各不相同”,事件 $B$ 为“只有甲同学选羽毛球”,由 $P(A|B)=$ (D)

A.$\frac{8}{9}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{8}$
D.$\frac{2}{9}$

答案： 对点训练1：D 记事件 $A$ 为“四名同学所选项目各不相同”，事件 $B$ 为“只有甲同学选羽毛球”，则 $P(B)=\frac{3^3}{4^4}=\frac{27}{256}$，
$P(A \cap B)=\frac{A_3^3}{4^4}=\frac{3}{128}$
$\therefore P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{128}}{\frac{27}{256}}=\frac{2}{9}$

例2. 现有 6 个节目准备参加比赛,其中 4 个舞蹈节目,2 个语言类节目,如果不放回地依次抽取 2 个节目,求:
(1) 第 1 次抽到舞蹈节目的概率;
(2) 第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率;
(3) 在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下,第 2 次抽到舞蹈节目的概率.
[分析] 第 (1)(2) 问属古典概型问题,可直接代入公式;第 (3) 问为条件概率,可以借用前两问的结论,也可以直接利用基本事件个数求解.

答案： 例2：设第1次抽到舞蹈节目为事件 $A$, 第2次抽到舞蹈节目为事件 $B$, 则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件 $A \cap B$。
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为 $n(\Omega)$
$=A_6^2=30$，
根据分步计数原理 $n(A)=A_4^1 A_5^1=20$，于是 $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=$
$\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$。
(2)因为 $n(A \cap B)=A_4^2=12$，于是 $P(A \cap B)=\frac{n(A \cap B)}{n(\Omega)}=$
$\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$。
(3)解法一：由
(1)
(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
$P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{5}$。
解法二：因为 $n(A \cap B)=12, n(A)=20$，
所以 $P(B|A)=\frac{n(A \cap B)}{n(A)}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
解法三：第1次抽到舞蹈节目后，再抽第2次，则基本事件空间为 $C_5^1$，而又抽到舞蹈节目的数目为 $C_4^1$，
$\therefore$ 概率为 $P=\frac{C_4^1}{C_5^1}=\frac{3}{5}$。