《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的弦被点$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$平分,则这条弦所在的直线方程是$2x + 4y - 3 = 0$.

答案： 对点训练4:$2x + 4y - 3 = 0$ 设这条弦的两端点为$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，斜率为$k$，
则$\begin{cases} \frac{x_{1}^{2}}{2} + y_{1}^{2} = 1, \\ \frac{x_{2}^{2}}{2} + y_{2}^{2} = 1 \end{cases}$
两式相减再变形得$\frac{x_{1} + x_{2}}{2} + k(y_{1} + y_{2}) = 0$，
又弦中点为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，故$k = - \frac{1}{2}$，
故这条弦所在的直线方程$y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}(x - \frac{1}{2})$，整理得
$2x + 4y - 3 = 0$。

例5.设椭圆的中心是坐标原点,焦点在$x$轴上,离心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$,已知点$P\left(0,\frac{3}{2}\right)$到椭圆上一点的最远距离是$\sqrt{7}$,求椭圆的标准方程.
[错解] 依题意可设椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$,
$\therefore e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4},\therefore\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4}$,即$a=2b$.
设椭圆上的点$(x,y)$到点$P$的距离为$d$,
$\therefore d^{2}=x^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=a^{2}\left(1-\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)+y^{2}-3y+\frac{9}{4}=-3\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}+4b^{2}+3(-b\leqslant y\leqslant b)$.
$\therefore$当$y=-\frac{1}{2}$时,$d^{2}$最大,即$4b^{2}+3=7,\therefore b^{2}=1.\therefore a^{2}=4b^{2}=4,\therefore$椭圆的标准方程是$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$.
[辨析] 易忽略椭圆方程中$y$的取值范围,而直接得:当$y=-\frac{1}{2}$时,$d^{2}$有最大值.事实上,由于点$(x,y)$在椭圆上,所以有$-b\leqslant y\leqslant b$,因此在求$d^{2}$的最大值时,应分类讨论.
[正解]

答案： 例5:依题意可设椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0)$，
则$e^{2} = \frac{c^{2}}{a^{2}} = \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{3}{4}$，所以$\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{4}$，即$a = 2b$。
设椭圆上的点$(x,y)$到点$P$的距离为$d$，则$d^{2} = x^{2} + (y - \frac{3}{2})^{2} = a^{2}(1 - \frac{y^{2}}{b^{2}}) + y^{2} - 3y + \frac{9}{4} = - 3(y + \frac{1}{2})^{2} + 4b^{2} + 3$ $( - b \leq y \leq b)$。
若$b ＜ \frac{1}{2}$，则当$y = - b$时，$d^{2}$有最大值，从而$d$有最大值，
于是$(\sqrt{7})^{2} = (b + \frac{3}{2})^{2}$，解得$b = \pm \sqrt{7} - \frac{3}{2}$，与$0 ＜ b ＜ \frac{1}{2}$矛盾。
所以必有$b \geq \frac{1}{2}$，此时当$y = - \frac{1}{2}$时，$d^{2}$有最大值，从而$d$有最大值，即$4b^{2} + 3 = (\sqrt{7})^{2}$，解得$b^{2} = 1$，所以$a^{2} = 4$。
故所求椭圆的标准方程是$\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$。

1.已知椭圆$C:16x^{2}+4y^{2}=1$,则下列结论正确的是 (D)

A.长轴长为$\frac{1}{2}$
B.焦距为$\frac{\sqrt{3}}{4}$
C.焦点坐标为$\left(0,\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
D.离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 1. $D$ 椭圆方程$16x^{2} + 4y^{2} = 1$化为标准方程$\frac{x^{2}}{\frac{1}{16}} + \frac{y^{2}}{1} = 1$，焦点在$y$轴上，所以$a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{4},c = \frac{\sqrt{3}}{4}$，所以长轴长为$2a = 1$，焦距为$2c = \frac{\sqrt{3}}{2}$，焦点坐标为$(0, \pm \frac{\sqrt{3}}{4})$，离心率为$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，故选$D$。

2.已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{9}=1(a＞3)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$,则$a=$ (B)

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： 2. $B$ 因为椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{9} = 1(a ＞ 3)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以$(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} = 1 - \frac{9}{a^{2}}$，所以$a = 6$。故选$B$。

3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为 (A)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{4}$

答案：
3. $A$ 不妨设椭圆的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$，$B$为椭圆的上顶点。
依题意可知，$\triangle BF_{1}F_{2}$是正三角形。
在$ Rt \triangle OBF_{2}$中，$|OF_{2}| = c$，
$|BF_{2}| = a,\angle OF_{2}B = 60^{\circ}$，

$\therefore \cos 60^{\circ} = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$。
即椭圆的离心率$e = \frac{1}{2}$，故选$A$。

4.已知椭圆$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$,
$F_{2}$,上、下顶点分别为$B_{1},B_{2}$,则四边形$B_{1}F_{1}B_{2}F_{2}$的面积为$2\sqrt{2}$.

答案：
4. $2\sqrt{2}$ 根据题意，设四边形$B_{1}F_{1}B_{2}F_{2}$的面积为$S$，
椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$，其中
$a = \sqrt{3},b = \sqrt{2}$，
则$c = \sqrt{3 - 2} = 1$，
则$F_{1}( - 1,0),F_{2}(1,0),B_{1}(0,\sqrt{2})$，$B_{2}(0, - \sqrt{2})$，

即$|OF_{1}| = |OF_{2}| = 1,|OB_{1}| = |OB_{2}| = \sqrt{2}$，
则$S = 4 × S_{\triangle B_{1}OF_{1}} = 4 × (\frac{1}{2} × |OB_{1}| × |OF_{1}|) = 2\sqrt{2}$。

5.已知椭圆$x^{2}+(m+3)y^{2}=m(m＞0)$的离心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$,求$m$的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.

答案： 5. 椭圆方程可化为$\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{\frac{m}{m + 3}} = 1(m ＞ 0)$，
$\because m - \frac{m}{m + 3} = \frac{m(m + 3)}{m + 3} - \frac{m}{m + 3} ＞ 0,\therefore m ＞ \frac{m}{m + 3}$
$\therefore a^{2} = m,b^{2} = \frac{m}{m + 3},c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{\frac{m(m + 2)}{m + 3}}$
由$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\sqrt{\frac{m + 2}{m + 3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore m = 1$。
$\therefore$椭圆的标准方程为$x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1,\therefore a = 1,b = \frac{1}{2},c = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore$椭圆的长轴长为$2$，短轴长为$1$；
两焦点坐标分别为$( - \frac{\sqrt{3}}{2},0),( \frac{\sqrt{3}}{2},0)$；四个顶点坐标分别为$( - 1,0),(1,0),(0, - \frac{1}{2}),(0,\frac{1}{2})$。