《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例5. 有10个运动员名额，分给班号分别为1,2,3的3个班.
(1)每班至少1个名额，有多少种分配方案？
(2)每班至少2个名额，有多少种分配方案？
(3)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？
[分析] (1)直接使用隔板法计数；(2)(3)先将问题进行等价转化，再使用隔板法计数.

答案：
例5:
(1)因为10个名额没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空,在9个空中选2个位置插入“隔板”,可把名额分成3份,对应地分给3个班级,每一种插入隔板的方法对应一种分法,共有$ C_{9}^{2}=36$(种)分法.
如图是其中一种分法,表示分给1班,2班,3班的名额分别是2个,5个,3个.

(2)要求每班至少2个名额,可以先从10个名额中拿出3个,分别给各班1个名额,还剩下7个名额,此时题目转化为将7个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额,按照解第
(1)小问的方法,可得有$ C_{6}^{2}=15$(种)分法.
如图是其中一种分法,表示分给1班,2班,3班的名额分别是$3 + 1 = 4$(个),$2 + 1 = 3$(个),$2 + 1 = 3$(个).
(3)增加3个名额,使得每个班级至少有1个名额,此时问题转化为将13个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额,按照解第
(1)小问的方法,可得有$ C_{12}^{2}=66$(种)分法.
如图是其中一种分法,表示分给1班,2班,3班的名额分别是$3 - 1 = 2$(个),$6 - 1 = 5$(个),$4 - 1 = 3$(个).
oooII0oooooIIoooo
1班　　　　2班　　　　　3班

有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案

A.680
B.816
C.1360
D.1456

答案： A 先给每个小朋友分三个苹果,剩余18个苹果利用“隔板法”,18个苹果有17个空,插入三个“板”,共有$ C_{17}^{3}=680$种方法,故有30个完全相同的苹果,分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹果,有680种不同的分配方案.

例6. 将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有144种(用数字作答).
[错解—] 从4个小球中任取3个小球，有$ C_{4}^{3}$种取法，从4个盒子中任取3个盒子，有$ C_{4}^{3}$种取法，
将3个小球放入取出的3个盒子中，有$ A_{3}^{3}$种放法，再把余下的1个小球放入3个盒子中的1个，有3种放法.
所以满足题意的放法有$ C_{4}^{3}· C_{4}^{3}· A_{3}^{3}·3 = 288$(种).
[错解二] 将3个球放入4个盒子中，有$ A_{4}^{3}$种放法，再把余下的1个球放入3个盒子中的1个，有3种放法，
所以满足题意的放法有$ A_{4}^{3}·3 = 72$(种).
[辨析] 导致错解的原因；错解一是重复计数；错解二是遗漏计数，分析如下.
设4个不同的小球为$a,b,c,d$，从4个小球中取出3个，
若取出的是$a,b,c$，则$d$与$a,b,c$搭配，有$a,d;b,d;c,d;d,a$(此处原解析存在表述问题，应为$d$与$a,b,c$中每个组合搭配的情况).
若取出的是$b,c,d$，则$a$与$b,c,d$搭配，有$b,a;c,a;d,a;a,a$(同理，此处原解析表述有问题，是$a$与$b,c,d$的组合搭配). 其中$a,d$与$d,a$是同一种情况. 这就是错解一中出错的地方.
取3个小球，若取出的是$a,b,c$，则$d$与$a,b,c$搭配有$a,d;b,d;c,d;d,a,d,c$(原解析此处表述混乱，实际就是遗漏了部分组合情况). 遗漏了$a,b;b,c;a,c$这3种情况. 这就是错解二中出错的地方.
[正解]

答案： 例6:144 由题意知,必有1个盒子内放入2个小球.从4个小球中取出2个小球,有$ C_{4}^{2}$种取法,此时把它看作1个小球,与另2个小球(共3个小球)分别放入4个盒子中,有$ A_{4}^{3}$种放法,所以满足题意的放法有$ C_{4}^{2} A_{4}^{3}=144$(种)或$ C_{4}^{2} C_{2}^{1} A_{4}^{3}=144$.