《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例1. 若直线$l$满足下列条件，求其直线方程.
(1)过点$(-1,2)$且斜率为$3$；
(2)过点$(-1,2)$且与$x$轴平行；
(3)过点$(-1,2)$且与$x$轴垂直.

答案： 例1:
(1)由直线的点斜式方程可得$y - 2 = 3[x - (-1)]$，
即$y - 2 = 3(x + 1)$.
(2)由于直线的斜率为0，故直线方程为$y = 2$.
(3)由于直线斜率不存在，故直线方程为$x = -1$.

求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点$A(2,5)$，斜率是$4$；
(2)经过点$B(2,3)$，倾斜角是$45^{\circ}$；
(3)经过点$C(-1,-1)$，与$x$轴平行；
(4)经过点$D(1,1)$，与$x$轴垂直.

答案： 对点训练1:
(1)$y - 5 = 4(x - 2)$.
(2)
∵直线的倾斜角为$45°$，
∴直线的斜率为1，
∴直线方程为$y - 3 = x - 2$.
(3)$y = -1$.
(4)$x = 1$.

例2. 已知直线$l$的斜率为$2$，在$y$轴上的截距为$m$.
(1)求直线$l$的方程；
(2)当$m$为何值时，直线通过$(1,1)$点.
[分析] 已知直线的斜率及$y$轴上的截距可选用斜截式方程.

答案： 例2:
(1)利用直线的斜截式方程，可得方程为$y = 2x + m$.
(2)只需将点$(1,1)$代人直线$y = 2x + m$，有$1 = 2 × 1 + m$，
∴$m = -1$.

写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是$3$，在$y$轴上的截距是$-3$；
(2)倾斜角是$60^{\circ}$，在$y$轴上的截距是$5$；
(3)过点$A(-1,-2)$、$B(-2,3)$.

答案： 对点训练2:
(1)$y = 3x - 3$.
(2)
∵$k = \tan 60° = \sqrt{3}$，
∴$y = \sqrt{3}x + 5$.
(3)$k_{AB} = -5$，
∴直线$AB$的方程为$y - 3 = -5(x + 2)$，化为
斜截式$y = -5x - 7$.