《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有

A.36种
B.48种
C.96种
D.192种

答案： 1.C 甲选2门有$ C_{4}^{2}$种选法,乙选3门有$ C_{4}^{3}$种选法,丙选3门有$ C_{4}^{3}$种选法.
所以共有$ C_{4}^{2} · C_{4}^{3} · C_{4}^{3}=96$(种)选法.

2. 一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有

A.27种
B.24种
C.21种
D.18种

答案： 2.C 分两类:一类是2个白球有$ C_{6}^{2}=15$种取法,另一类是2个黑球有$ C_{3}^{2}=6$种取法,所以取法共有$15 + 6 = 21$(种).

3. 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有

A.150种
B.180种
C.200种
D.280种

答案： 3.A 人数分配上有1,1,3与1,2,2两种方式,若是1,1,3,则有$\frac{ C_{3}^{1} C_{2}^{1} C_{1}^{1}}{ A_{2}^{2}} × A_{3}^{3}=60$(种),若是1,2,2,则有$\frac{ C_{3}^{1} C_{2}^{2} C_{3}^{2}}{ A_{2}^{2}} × A_{3}^{3}=90$(种),所以共有150种,选A.

4. 某新农村社区共包括$n$个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为28，则$n =$

A.6
B.8
C.9
D.10

答案： 4.B 由于“村村通”公路的修建,是组合问题,故共需要建公路的条数为$ C_{n}^{2}=\frac{n(n - 1)}{2}=28$,解得$n = 8$或$n = -7$(舍去),故选B.

5. 6本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒子至少放一本书，有不同分配方法10种.

答案： 5.10 先把6本书并成一排,它们之间有5个空,在5个空中选出3个空放上“隔板”.6本书被分成了4组,4组书的本数也恰好对应一种放书的方法,共有$ C_{5}^{3}=10$(种).

知识点1 二项式定理

答案： 知识点1 $C_{n}^{0}a^{n} + C_{n}^{1}a^{n - 1}b^{1} + ·s + C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k} + ·s + C_{n}^{n}b^{n}$
$C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$

知识点2 二项展开式的特点
(1) 展开式共有 $n + 1$ 项。
(2) 各项的次数和都等于二项式的幂指数 $n$。
(3) 字母 $a$ 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由 $n$ 逐项减1直到为0，字母 $b$ 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为 $n$。

答案： 知识点2 二项展开式的特点
(1) 展开式共有 $n + 1$ 项。
(2) 各项的次数和都等于二项式的幂指数 $n$。
(3) 字母 $a$ 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由 $n$ 逐项减1直到为0，字母 $b$ 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为 $n$。