《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

过抛物线$y^{2} = mx(m ＞ 0)$的焦点作直线交抛物线于$P,Q$两点，若线段$PQ$中点的横坐标为$3$，$|PQ| = \frac{5}{4}m$，则$m =$ (C)

A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$10$

答案： 对点训练2:C 设$P,Q$的坐标分别为$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$,由线段$PQ$中点的横坐标为3,得$\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = 3$,
$|PQ| = x_{1} + x_{2} + p = 6 + \frac{p}{2} = \frac{5}{4}m$,由此解得$m = 8$.

例3. 已知$A,B$为抛物线$E$上不同的两点，若抛物线$E$的焦点为$(1,0)$，线段$AB$恰被$M(2,1)$所平分.
(1)求抛物线$E$的方程；
(2)求直线$AB$的方程.

答案：
(1)由于抛物线的焦点为$(1,0)$,
所以$\frac{p}{2} = 1,p = 2$,所求抛物线方程为$y^{2} = 4x$.
(2)设$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$,
则$y_{1}^{2} = 4x_{1}$ ①,$y_{2}^{2} = 4x_{2}$ ②,
且$x_{1} + x_{2} = 4,y_{1} + y_{2} = 2$,
由② - ①得$(y_{2} + y_{1})(y_{2} - y_{1}) = 4(x_{2} - x_{1})$,
所以$\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = 2$,
所以所求直线$AB$的方程为$y - 1 = 2(x - 2)$,
即$2x - y - 3 = 0$.

若本例中条件“线段$AB$恰被$M(2,1)$所平分”改为“线段$AB$恰被$M(1,1)$所平分”，问这样的直线$AB$是否存在？若存在，求出直线$AB$的方程，若不存在，说明理由.

答案： 存在
设$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$,
则$y_{1}^{2} = 4x_{1}$ ①
$y_{2}^{2} = 4x_{2}$ ②
且$y_{1} + y_{2} = 2$,
② - ①得$y_{2}^{2} - y_{1}^{2} = 4(x_{2} - x_{1})$
$\therefore \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = 2,\therefore$直线$AB$的方程为$y - 1 = 2(x - 1)$,
即$2x - y - 1 = 0$.

例4. 设抛物线$y = mx^{2}(m \neq 0)$的准线与直线$y = 1$的距离为$3$，求抛物线的标准方程.
[错解] 由$y = mx^{2}(m \neq 0)$可知其准线方程为$y = -\frac{m}{4}$，
由题意知$-\frac{m}{4} = -2$，解得$m = 8$，
故所求抛物线的标准方程为$y = 8x^{2}$.
[辨析] 本题在解答过程中容易出现两个错误：一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程，得到准线方程为$y = -\frac{m}{4}$；二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另一种情况，只得到一个解.
[正解]

答案： $y = mx^{2}(m \neq 0)$可化为$x^{2} = \frac{1}{m}y$,其准线方程为$y = - \frac{1}{4m}$.由题意知$- \frac{1}{4m} = -2$或$- \frac{1}{4m} = 4$,
解得$m = \frac{1}{8}$或$m = - \frac{1}{16}$,
故所求抛物线的标准方程是$x^{2} = 8y$或$x^{2} = -16y$.