《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例3. 如图所示,在正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中,点 $E$ 在 $A_{1}D_{1}$ 上,且 $\overrightarrow{A_{1}E}=2\overrightarrow{ED_{1}}$,点 $F$ 在对角线 $A_{1}C$ 上,且 $\overrightarrow{A_{1}F}=\frac{2}{3}\overrightarrow{FC}$. 求证: $E,F,B$ 三点共线.
[分析] 可通过证明 $\overrightarrow{EF}$ 与 $\overrightarrow{EB}$ 共线来证明 $E,F,B$ 三点共线.

答案： 例3：证明：设$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a},\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b},\overrightarrow{AA_{1}} = \boldsymbol{c}$.
因为$\overrightarrow{A_{1}E} = 2\overrightarrow{ED_{1}},\overrightarrow{A_{1}F} = \frac{2}{3}\overrightarrow{FC}$，所以$\overrightarrow{A_{1}E} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A_{1}D_{1}},\overrightarrow{A_{1}F} = \frac{2}{5}\overrightarrow{A_{1}C}$，
所以$\overrightarrow{A_{1}E} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} = \frac{2}{3}\boldsymbol{b},\overrightarrow{A_{1}F} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA_{1}}) = \frac{2}{5}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA_{1}}) = \frac{2}{5}\boldsymbol{a} + \frac{2}{5}\boldsymbol{b} - \frac{2}{5}\boldsymbol{c}$.
所以$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{A_{1}F} - \overrightarrow{A_{1}E} = \frac{2}{5}\boldsymbol{a} - \frac{4}{15}\boldsymbol{b} - \frac{2}{5}\boldsymbol{c} = \frac{2}{5}(\boldsymbol{a} - \frac{2}{3}\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c})$.
又因为$\overrightarrow{EB} = \overrightarrow{EA_{1}} + \overrightarrow{A_{1}A} + \overrightarrow{AB} = -\frac{2}{3}\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c} + \boldsymbol{a} = \boldsymbol{a} - \frac{2}{3}\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}$，
所以$\overrightarrow{EF} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EB}$.
因为$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{EB}$有公共点$E$，所以$E,F,B$三点共线.

如图所示,已知四边形 $ABCD,ABEF$ 都是平行四边形且不共面, $M,N$ 分别是 $AC,BF$ 的中点,判断 $\overrightarrow{CE}$ 与 $\overrightarrow{MN}$ 是否共线.

答案： 对点训练3：$\because M,N$分别是$AC,BF$的中点，且四边形$ABCD$，$ABEF$都是平行四边形，
$\therefore \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AF} + \frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$.
又$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CE} - \overrightarrow{AF} - \frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$，
$\therefore 2\overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AF} + \frac{1}{2}\overrightarrow{FB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CE} - \overrightarrow{AF} - \frac{1}{2}\overrightarrow{FB} = \overrightarrow{CE}$，即$\overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{MN}$.
$\therefore \overrightarrow{CE}$与$\overrightarrow{MN}$共线.

例4. 如图所示,已知正四面体 $OABC$ 的棱长为1,点 $E,F$ 分别是 $OA,OC$ 的中点. 求下列向量的数量积.
(1) $\overrightarrow{OA}· \overrightarrow{OB}$;
(2) $\overrightarrow{EF}· \overrightarrow{CB}$;
(3) $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})· (\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$.

答案： 例4：
(1)正四面体的棱长为1，则$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = 1$.
$\triangle OAB$为等边三角形，$\angle AOB = 60^{\circ}$，于是，
$\overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\rangle = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\angle AOB = 1 × 1 × \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
(2)由于$E,F$分别是$OA,OC$的中点，
所以$\overrightarrow{EF} // \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，于是$\overrightarrow{EF} · \overrightarrow{CB} = |\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{CB}|\cos\langle\overrightarrow{EF},\overrightarrow{CB}\rangle = \frac{1}{2}|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CB}|\cos\langle\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\rangle = \frac{1}{2} × 1 × 1 × \cos\langle\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\rangle = \frac{1}{2} × 1 × 1 × \cos 120^{\circ} = -\frac{1}{4}$.
(3)$(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) · (\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) · (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC})$
$= (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) · (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OC})$
$= \overrightarrow{OA}^{2} + \overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} · \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}^{2} - 2\overrightarrow{OB} · \overrightarrow{OC}$
$= 1 + \frac{1}{2} - 2 × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 - 2 × \frac{1}{2} = 1$.