《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. $(x + 2)^8$ 的展开式中 $x^6$ 的系数是 (C)

A.28
B.56
C.112
D.224

答案： 课堂检测·固双基
1 C 由$T_{2 + 1} = C_{8}^{2}x^{8 - 2} · 2^{2} = 112x^{6}$，所以$(x + 2)^{8}$的展开式中$x^{6}$
的系数是112.

2. (2024·北京卷) 在 $(x - \sqrt{x})^4$ 的展开式中，$x^3$ 的系数为 (A)

A.6
B.$-6$
C.12
D.$-12$

答案： 2 A $(x - \sqrt{x})^{4}$的二项展开式通项为
$T_{r + 1} = C_{4}^{r}x^{4 - r}( - \sqrt{x})^{r} = C_{4}^{r}( - 1)^{r}x^{4 - \frac{r}{2}},(r = 0,1,2,3,4)$，
令$4 - \frac{r}{2} = 3$，解得$r = 2$，
故所求即为$C_{4}^{2}( - 1)^{2} = 6$. 故选A.

3. $\left(x - \frac{2}{x}\right)^4$ 展开式中的常数项为 (D)

A.6
B.8
C.12
D.24

答案： 3 D $(x - \frac{2}{x})^{4}$的展开式中通项公式$T_{k + 1} = C_{4}^{k}x^{4 - k} · ( - \frac{2}{x})^{k} =$
$( - 2)^{k}C_{4}^{k}x^{4 - 2k}$，当$4 - 2k = 0$时，展开式为常数，此时$k = 2$，
展开式的常数项为：$T_{3} = 4C_{4}^{2} = 24$.

4. 在 $(a + x)^3$ 的展开式中，$x$ 的系数为12，则实数 $a$ 的值为 (B)

A.$\pm 1$
B.$\pm 2$
C.$-3$
D.4

答案： 4 B $(a + x)^{3}$的展开式的通项公式为$T_{k + 1} = C_{3}^{k}a^{3 - k}x^{k},k = 0,1$,
$2,3$.由已知得$C_{3}^{1}a^{3 - 1} = 12$，得$a = \pm 2$. 故选B.

5. 在 $\left(x + \frac{2}{x^2}\right)^5$ 的展开式中，$x^2$ 的系数是 10。

答案： 5 10 二项式$(x + \frac{2}{x^{2}})^{5}$的展开式的通项公式$T_{k + 1} =$
$C_{5}^{k}x^{5 - k}(\frac{2}{x^{2}})^{k} =$
$C_{5}^{k} · 2^{k} · x^{5 - 3k}$，令$5 - 3k = 2$，
$\therefore k = 1,\therefore x^{2}$的系数为$2 × C_{5}^{1} = 10$.

知识点1 杨辉三角
$(a+b)^{n}$ 展开式的二项式系数在当 $n$ 取正整数时可以表示成如下形式:
$(a+b)^{1}$ ……………………1 1
$(a+b)^{2}$ ……………………1 2 1
$(a+b)^{3}$ ……………………1 3 3 1
$(a+b)^{4}$ ……………………1 4 6 4 1
$(a+b)^{5}$ ……………………1 5 10 10 5 1
$(a+b)^{6}$ ……………………1 6 15 20 15 6 1
……
上面的二项式系数表称为 杨辉三角.

答案： 杨辉三角

知识点2 二项式系数的性质
1. 对称性: 在 $(a+b)^{n}$ 的展开式中, 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等, 即 $C_{n}^{0}=C_{n}^{n}$, $C_{n}^{1}=C_{n}^{n-1}, ·s, C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$.
2. 增减性与最大值: 当 $k＜\frac{n+1}{2}$ 时, 二项式系数是逐渐 增大 的, 由对称性可知它的后半部分是逐渐 减小 的, 且在中间取得最大值. 当 $n$ 是偶数时, 中间一项的二项式系数 $C_n^2$ 取得最大值; 当 $n$ 是奇数时, 中间两项的二项式系数 $C_n^{\frac{n-1}{2}}$ 和 $C_n^{\frac{n+1}{2}}$ 相等, 且同时取得最大值.
3. 各二项式系数的和
$C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+·s+C_{n}^{n}=$ $2^n$.
$C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+·s=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+·s=$ $2^{n-1}$.

答案： 1.等距离 2.增大 减小 $C_n^2$ $C_n^{\frac{n-1}{2}}$ 和 $C_n^{\frac{n+1}{2}}$ $3.2^n$ $2^{n-1}$