《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

已知直线$y=(a + 1)x - 1$与$y^{2}=ax$恰有一个公共点,求实数$a$的值.

答案： 对点训练3:联立方程$\begin{cases} y = (a + 1)x - 1, \\y^2 = ax \end{cases}$
当$a = 0$时,此方程组恰有一组解为$\begin{cases} x = 1, \\y = 0 \end{cases}$
当$a \neq 0$时,得$\frac{a + 1}{a}y^2 - y - 1 = 0$
①若$\frac{a + 1}{a} = 0$,即$a = -1$,则方程为$-y - 1 = 0$,得$\begin{cases} x = -1, \\y = -1 \end{cases}$
②若$\frac{a + 1}{a} \neq 0$,即$a \neq -1$,由$\Delta = 0$,得$1 + \frac{4(a + 1)}{a} = 0$,解得$a = -\frac{4}{5}$
这时直线与曲线相切,只有一个公共点
综上可知,当$a = 0, -1, -\frac{4}{5}$时,直线$y = (a + 1)x - 1$与$y^2 = ax$恰有一个公共点

例4. 过定点$P(-1,1)$，且与抛物线$y^{2}=2x$只有一个公共点的直线$l$的方程为y = 1或$(\sqrt{3} - 1)x - 2y + \sqrt{3} + 1 = 0$或$(1 + \sqrt{3})x + 2y + \sqrt{3} - 1 = 0$.
[错解] 当直线$l$的斜率不存在时，显然不满足题意；
当直线$l$的斜率存在时，设直线$l$的方程为$y - 1 = k(x + 1)(k\neq0)$，由$\begin{cases} y = k(x + 1) + 1, \\ y^{2} = 2x, \end{cases}$消去$x$，得$ky^{2}-2y + 2k + 2 = 0$.
因为抛物线与直线$l$只有一个公共点，所以$\Delta=4 - 4k(2k + 2)=0$，解得$k=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$.
故所求直线$l$的方程为$(\sqrt{3}-1)x - 2y+\sqrt{3}+1=0$或$(1+\sqrt{3})x+2y+\sqrt{3}-1=0$.
[辨析] 错解中忽略了与抛物线对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点的情况，故产生漏解.
[正解]

答案： 例4:$y = 1$或$(\sqrt{3} - 1)x - 2y + \sqrt{3} + 1 = 0$或$(1 + \sqrt{3})x + 2y + \sqrt{3} - 1 = 0$当直线$l$的斜率不存在时,显然不满足题意
当直线$l$的斜率存在时,若直线$l$与抛物线的对称轴平行,则直线$l$的方程为$y = 1$,此时直线$l$与抛物线只有一个公共点
若直线$l$与抛物线的对称轴不平行,则同错解得所求直线$l$的方程为$(\sqrt{3} - 1)x - 2y + \sqrt{3} + 1 = 0$或$(1 + \sqrt{3})x + 2y + \sqrt{3} - 1 = 0$
综上所述,所求直线$l$的方程为$y = 1$或$(\sqrt{3} - 1)x - 2y + \sqrt{3} + 1 = 0$或$(1 + \sqrt{3})x + 2y + \sqrt{3} - 1 = 0$

1. 直线$y = x + 1$与椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$的位置关系是 (A)

A.相交
B.相切
C.相离
D.无法判断

答案： 1.A解法一:联立直线与椭圆的方程,得$\begin{cases} y = x + 1, \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1 \end{cases}$消去$y$,得$9x^2 + 10x - 15 = 0$,$\Delta = 100 - 4 × 9 × (-15) ＞ 0$,所以直线与椭圆相交
解法二:直线过点$(0,1)$,而点$(0,1)$在椭圆内部,所以直线与椭圆相交

2. 过点$(0,1)$作直线，使它与抛物线$y^{2}=4x$仅有一个公共点，这样的直线有 (C)

A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条

答案： 2.C$\because$点$(0,1)$在抛物线$y^2 = 4x$外部,$\therefore$过点$(0,1)$与抛物线$y^2 = 4x$相切的直线有两条,过点$(0,1)$与$x$轴平行的直线$y = 1$与抛物线$y^2 = 4x$只有一个公共点,故选C

3. 过双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$的右焦点作直线与双曲线交于$A,B$两点，若$|AB| = 16$，则这样的直线有 (C)

A.一条
B.两条
C.三条
D.四条

答案： 3.C过右焦点且垂直于实轴的弦长为$\frac{2b^2}{a} = 2 × \frac{8}{1} = 16$
$\because |AB| = 16$,$\therefore$当直线$l$与双曲线的两交点都在右支上时这样的直线只有一条.又实轴长为$2,16 ＞ 2$,$\therefore$当直线$l$与双曲线的两交点分别在左、右两支上时这样的直线应该有两条,共三条

4. 直线$y = x + 1$与抛物线$y^{2}=4x$的公共点坐标为(1,2).

答案： 4.$(1,2)$由$\begin{cases} y = x + 1, \\y^2 = 4x \end{cases}$得$x^2 - 2x + 1 = 0$,$\therefore x = 1,y = 2$

5. (2024·北京卷)若直线$y = k(x - 3)$与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$只有一个公共点，则$k$的一个取值为$\frac{1}{2}$(或$-\frac{1}{2}$,答案不唯一).

答案： 5.$\frac{1}{2}$(或$-\frac{1}{2}$,答案不唯一)联立$\begin{cases} \frac{x^2}{4} - y^2 = 1, \\y = k(x - 3) \end{cases}$化简并整理得:$(1 - 4k^2)x^2 + 24k^2x - 36k^2 - 4 = 0$
由题意得$1 - 4k^2 = 0$或$\Delta = (24k^2)^2 + 4(36k^2 + 4)(1 - 4k^2) = 0$
解得$k = \pm \frac{1}{2}$或无解,即$k = \pm \frac{1}{2}$,经检验,符合题意.故答案为:$\frac{1}{2}$(或$-\frac{1}{2}$,答案不唯一)