《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例1. 已知直线$l:3x + y - 6 = 0$和圆$C:x^{2}+y^{2}-2y - 4 = 0$，判断直线$l$与圆$C$的位置关系.

答案： 解法一(代数法)：将直线方程和圆的方程联立得$\begin{cases}3x + y - 6 = 0,\\x^{2} + y^{2} - 2y - 4 = 0.\end{cases}$
消去$y$，得$x^{2} - 3x + 2 = 0$。
因为$\Delta = (-3)^{2} - 4 × 1 × 2 = 1 ＞ 0$，所以直线$l$与圆$C$相交。
解法二(几何法)：将圆$C$:$x^{2} + y^{2} - 2y - 4 = 0$化为标准方程，得$x^{2} + (y - 1)^{2} = 5$，所以圆心坐标为$(0,1)$，半径为$\sqrt{5}$。
所以圆心$(0,1)$到直线$l$:$3x + y - 6 = 0$的距离为$d = \frac{\vert 0 + 1 - 6\vert}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{10}} ＜ \sqrt{5}$，故直线$l$与圆$C$相交。

求实数$m$的取值范围，使直线$x - my + 3 = 0$与圆$x^{2}+y^{2}-6x + 5 = 0$分别满足：①相交；②相切；③相离.

答案： 圆的方程化为标准形式为$(x - 3)^{2} + y^{2} = 4$，
故圆心$(3,0)$到直线$x - my + 3 = 0$的距离为$d = \frac{6}{\sqrt{m^{2} + 1}}$，圆的半径为$r = 2$。
①若相交，则$d ＜ r$，即$\frac{6}{\sqrt{m^{2} + 1}} ＜ 2$，所以$m ＜ -2\sqrt{2}$或$m ＞ 2\sqrt{2}$，故$m$的取值范围为$(-\infty, -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}, +\infty)$；
②若相切，则$d = r$，即$\frac{6}{\sqrt{m^{2} + 1}} = 2$，所以$m = \pm 2\sqrt{2}$；
③若相离，则$d ＞ r$，即$\frac{6}{\sqrt{m^{2} + 1}} ＞ 2$，所以$-2\sqrt{2} ＜ m ＜ 2\sqrt{2}$，故$m$的取值范围为$(-2\sqrt{2},2\sqrt{2})$。

例2. (1)由直线$y = x + 1$上任一点向圆$(x - 3)^{2}+y^{2}=1$引切线，则该切线长的最小值为 (C)

A.1
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{7}$
D.3

答案：
(1)$C$ 圆心$C(3,0)$到$y = x + 1$的距离$d = \frac{\vert 3 - 0 + 1\vert}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$。所以切线长的最小值为$\sqrt{(2\sqrt{2})^{2} - 1^{2}} = \sqrt{7}$。

(2)过点$M(2,4)$向圆$(x - 1)^{2}+(y + 3)^{2}=1$引切线，求切线的方程.

答案：
(2)由于$(2 - 1)^{2} + (4 + 3)^{2} = 50 ＞ 1$，故点$M$在圆外。
当切线斜率存在时，设切线方程是$y - 4 = k(x - 2)$，即$kx - y + 4 - 2k = 0$，
由于直线与圆相切，故$\frac{\vert k + 3 + 4 - 2k\vert}{\sqrt{k^{2} + 1}} = 1$，解得$k = \frac{24}{7}$，
所以切线方程为$24x - 7y - 20 = 0$。
又当切线斜率不存在时，直线$x = 2$与圆相切。
综上所述，所求切线方程为$24x - 7y - 20 = 0$或$x = 2$。