《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例1. 已知坐标平面内的三点 $A(-1, 1), B(1, 1), C(2, \sqrt{3} + 1)$.
(1) 求直线 $AB, BC, AC$ 的斜率和倾斜角;
(2) 若 $D$ 为 $\triangle ABC$ 的边 $AB$ 上一动点, 求直线 $CD$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

答案：
例1：
(1)由斜率公式，得$k_{AB} =\frac{1 - 1}{1 - (-1)} = 0$，$k_{BC} =\frac{\sqrt{3} + 1}{2 - 1} = \sqrt{3},k_{AC} =\frac{\sqrt{3} + 1 - 1}{2 - (-1)} =\frac{\sqrt{3}}{3}$。
$\because \tan 0^{\circ} = 0$，
$\therefore AB$的倾斜角为$0^{\circ}$；
因为$\tan 60^{\circ} =\sqrt{3}$，所以$BC$的倾斜角为$60^{\circ}$；
因为$\tan 30^{\circ} =\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$AC$的倾斜角为$30^{\circ}$。
(2)如图所示，当斜率$k$变化时，直线$CD$绕点$C$旋转，在直线$CD$由$CA$逆时针转到$CB$过程中，直线$CD$与边$AB$恒有交点，即$D$在$\triangle ABC$的边$AB$上，此时$k$由$k_{CA}$增大到$k_{CB}$，所以$k$的取值范围为$[\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}]$。

例2. 求与直线 $y = \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$ 垂直, 并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 $24$ 的直线 $l$ 的方程.

答案： 例2：解法一：由直线$l$与直线$y =\frac{4}{3}x +\frac{5}{3}$垂直，可设直线方程为$y = -\frac{3}{4}x + b$，则直线$l$在$x$轴、$y$轴上的截距分别为$x_0 =\frac{4}{3}b,y_0 = b$。
又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为$24$，
所以$S =\frac{1}{2}|x_0||y_0| = 24$，
即$\frac{1}{2}|\frac{4}{3}b|· |b| = 24,b^{2} = 36$，解得$b = 6$或$b = -6$。
故所求直线的方程为$y = -\frac{3}{4}x + 6$或$y = -\frac{3}{4}x - 6$，
即$3x + 4y - 24 = 0$或$3x + 4y + 24 = 0$。
解法二：设直线$l$的方程为$\frac{x}{a} +\frac{y}{b} = 1$，则直线的斜率$k =-\frac{b}{a}$。因为$l$与直线$y =\frac{4}{3}x +\frac{5}{3}$垂直，
所以$k =-\frac{b}{a} =-\frac{3}{4}$，即$\frac{b}{a} =\frac{3}{4}$。
又因为$l$与两坐标轴围成的三角形的面积为$24$，
所以$\frac{1}{2}|ab| = 24$，即$|ab| = 48$。
所以$a = 8,b = 6$或$a = -8,b = -6$。
所以直线$l$的方程为$\frac{x}{8} +\frac{y}{6} = 1$或$\frac{x}{-8} +\frac{y}{-6} = 1$，
即$3x + 4y - 24 = 0$或$3x + 4y + 24 = 0$。

例3. 已知四边形 $ABCD$ 的顶点 $A(m, n), B(5, -1), C(4, 2), D(2, 2)$, 求 $m$ 和 $n$ 的值, 使四边形 $ABCD$ 为直角梯形.

答案：
例3：由题意可知，$k_{BC} =\frac{2 - (-1)}{4 - 5} = -3,k_{CD} =\frac{2 - 2}{2 - 4} = 0$，且$k_{BC}· k_{CD} = 0\neq -1$，所以直线$BC$与直线$CD$不垂直。
$\because$四边形$ABCD$是直角梯形，$\therefore$有以下两种情形：
①$AB// CD,AB\bot AD$，
由图可知，$A(2,-1),\therefore m = 2,n = -1$。

②$A'D// BC,A'D\bot A'B$，
$\begin{cases}k_{A'D} = k_{BC},\frac{n - 2}{m - 2} = -3,\\k_{A'D}· k_{A'B} = -1,\frac{n - 2}{m - 2}·\frac{n + 1}{m - 5} = -1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m =\frac{16}{5},\\n = -\frac{8}{5}.\end{cases}$
综上可知，$\begin{cases}m = 2,\\n = -1,\end{cases}$或$\begin{cases}m =\frac{16}{5},\\n = -\frac{8}{5}.\end{cases}$